Bestimmen Sie den Winkel 0° 180° für den gilt

Question

ich lerne gerade das Thema Additionstheoreme und soll eine Aufgabe bearbeiten die lautet:

Bestimmen Sie den Winkel 0°<alpha<180° für den gilt

sin(a)=sin(a+60°)

Es soll anscheinend die Gleichung

sin (a)+sin (b)= 2*sin (a+b/2) * cos (a-b/2)

verwendet werden.

Im Verlauf wird dann aus der oben stehenden Ausgangsgleichung

2 * sin (a-a+60°/2) * cos (2a+60°/2)= 0

Hier verstehe ich dann nicht mehr, welcher Teil dieser Gleichung beta darstellt ( a-60°?) und weshalb dann aber der cos von 2*a+60° verwendet wird.

Vielleicht wäre jemand so lieb, mir dies zu erklären? Leider mache ich ein Fernstudium und würde nicht ausschließen, dass ich irgendwo was Grundsätzliches überlesen habe :D

Vielen Dank schon einmal!

Kathanna

Answer 1

Vorbemerkung
Skizze in Bogenmass
180 ° = PI

Der Hochpunkt ist bei 90 °
Gehe ich von dort 30 ° links und 30 ° nach rechts
ist der Abstand 60 °
a = 90 - 30 = 60 °
b = a + 60 = 120 °

sin ( 60 ) = sin ( 120 )

Answer 2

Aloha :)

Hier würde ich zuerst das Addititionstheorem für die Sinus-Funktion anwenden. Anschließend durch \(\cos x\) dividieren und die Gleichung nach \(x\) umstellen:$$\left.\sin x\stackrel!=\sin(x+60^\circ)\quad\right|\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$$$\left.\sin x=\sin x\cos 60^\circ+\cos x\sin60^\circ\quad\right|:\,\cos(x)$$$$\left.\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}\cos 60^\circ+\sin60^\circ\quad\right|\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x\;;\;\cos60^\circ=\frac{1}{2}\;;\;\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$\left.\tan x=\frac{1}{2}\tan x+\frac{\sqrt3}{2}\quad\right|-\frac{1}{2}\tan x$$$$\left.\frac{1}{2}\tan x=\frac{\sqrt3}{2}\quad\right|\cdot2$$$$\left.\tan x=\sqrt3\quad\right|\arctan(\cdots)$$$$x=\arctan(\sqrt3)=60^\circ$$