Wie berechnet man Matrix A2021?

Question

Aufgabe:

(a) Es sei A ∈ Mat_2×2(R) eine Matrix, für die
1) A² + A + E₂ =0
2) A² =

1	-1
3	-2

gilt. Was ist A²⁰²¹?

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich weiß nicht, wie ich auf die Matrix A²⁰²¹  kommen soll.

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst doch mal die gegebene Matrixgleichung nach \(A\) umstellen. Dann hast du also

\(A=-A^2-I_2=\begin{pmatrix}-2&1\\-3&1\end{pmatrix}\).

Jetzt kannst du einfach mal einige Potenzen von \(A\) ausrechnen. Was stellst du danach fest?

Comments

Hallo :),

Wenn ich A2 und A4 berechne, habe ich die Matrix

1	-1
3	-2

heraus. Das heiß, dass bei jeder geraden Potenz diese Matrix herauskommt und bei ungeraden Potenzen kommt

-2	1
-3	1

heraus. Heißt das dann, dass A 2021 auch

-2	1
-3	1

ist, denn die Potenz 2021 ist ungerade?

---

Nein. Berechne doch mal die Potenzen \(A^1\), \(A^2\), \(A^3\) und \(A^4\).

---

Also wenn ich A3 berechne, erhalte ich die Einheitsmatrix

1	0
0	1

2021÷3= 673.67

A^2021-A^2019= A2021-(A³)⁶⁷³)= A^{2 =}

1	-1
3	-2

A^2021=A^2=

1	-1
3	-2

Answer 2

Hallo

du hast doch A^2=-E-A  dann A^3=-A -A^2   A^4=-A^2-A^3

wahrscheinlich gibt sich nach wenigen Schritten eine Regelmäßigkeit.

Gruß lul

Answer 3

Zunächst einmal kannst du A² in A² + A + E₂ = 0 einsetzen, um A zu erhalten.

Berechne dann A², A³, ... Was fällt dir bei A³ auf? Nutze dies um A²⁰²^1 = A² zu erhalten, wobei du A² ja kennst.