Flächeninhalt einer Menge?

Question

Aufgabe: Flächeninhalt einer Menge ?

Problem/Ansatz:

Hey

Ich weiß nicht genau wie ich den Flächeninhalt dieser Menge berechnen soll. Ich hatte vielleicht an ein unbestimmtes Integral gedacht, aber kann auch sein dass ich komplett falsch liege.

Wäre super könnte mir jemand helfen.

Text erkannt:

Seien \( a, b \in \mathbb{R}^{+} \) und \( M:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right\} \).

Answer 1

Aloha :)

Die Punkte der Fläche erfüllen die Gleichung \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le1\).

Wir definieren einen Ortsvektor \(\vec r\), der alle Punkte der Fläche abtastet:$$\vec r=\binom{x}{y}=\binom{ar\cos\varphi}{br\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]$$Durch diese Transformation wird das Flächenelement des kartesischen Koordinatensystems verzerrt. Dies müssen wir durch einen Korrekturfaktor berücksichtigen:$$\frac{dx\,dy}{dr\,d\varphi}=\begin{vmatrix}a\cos\varphi & -ar\sin\varphi\\b\sin\varphi & br\cos\varphi\end{vmatrix}=abr\cos^2\varphi+abr\sin^2\varphi=abr$$

Die Fläche der Ellipse ist daher:$$F=\int\limits_Mdx\,dy=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^1dr\,abr=ab\cdot2\pi\cdot\left[\frac{r^2}{2}\right]_0^1=\pi\,ab$$

Answer 2

Hallo,

das ist die allgemeine Ellipsengleichung. Du suchst \(\int \limits_{M}1\, \mathrm{d}M\). Es gibt zahlreiche Möglichkeiten, den Flächeninhalt zu bestimmen. Z. B.:+

(1) Symmetrie ausnutzen

(2) Sektorformel von Leibniz

(3) Transformationssatz → Übergang zu Ellipsenkoordinanten

(4) Kartesische Koordinanten + Normalbereich

Answer 3

Die Fläche wird von einer Ellipse umschlossen mit der waagerechten Halbachse a und der senkrechten Halbachse b.

Löse also nach y auf und integriere den Term \( \frac{b}{a} \) ·\( \sqrt{a^2-x^2} \) in den Grenzen von -a bis a. Das Doppelte dieses Integrals ist die gesuchte Fläche.

Comments

Oder man integriert von 0 bis a und das Vierfache ist die gesuchte Fläche. Das Integral ist mit der Substitution \(x=a\sin(u)\) zu bewältigen.