Einen Term aufstellen, um exponentielles Wachstum zu beschrieben?

Question

Aufgabe:

Handelt es sich um ein exponentielles Wachstum? Stelle gegebenenfalls einen Term auf, mit dem man den Wachstumsvorgang beschreiben kann. Berechne B (20)

t         0   1   2      3       4      5

B(t).  10  8  6,4  5,12  4,10. 3,28

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass es sich nicht um ein exponentielles Wachstum handelt, sondern um eine Abnahme, aber wie stelle ich den Term auf, um den Wachstumsvorgang zu beschreiben und wie berechne ich B (20)

Answer 1

f(x)=b*a^(x)

x=0 → f(0)=10=b*a⁰=10*1=10

f(1)=8=10*a^1

a=8/10=0,8

f(x)=10*0,8^(x)  1<a<1 exponentielle Abnahme

f(20)=10*0,8²⁰=0,115..

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Text erkannt:

Siehe Mathe-Forme1buch,was man privat in jedem Buchladen bekommt. Formel: \( y=f(x)=a^{x} \) mit a \( \varepsilon P \) und \( a>0 \) und a unGleich \( 1 \times \varepsilon P \) \( f(x+1)=f(x) *_{a} \)
Mit \( e^{x *} \ln (a)=a^{x} \) kann \( y=f(x)=a^{x} \) durch Streckung/Stauchung mit \( 1 n(a \)
aus der e-Funktion gewonnen werden. Durchläuft in \( f(x)=c^{*} a^{x}(c \neq 0 \) und \( a>0 \) und \( a \neq 1) \) das Argument eine "arithmetische Folge", so durchläuft der Funktionswert \( f(x) \) eine "geometrische Folge". Die "Exponentialfunktion" kommt in folgender Form vor:
1) \( N(t)= \) No* a \( t \) No=Anfangswertrzum Zeitpunkt \( t=0 N(0)=\mathbb{N}_{0} *_{a}^{0}=N_{0} * 1 \)
\( 0<a<1 \) exponentielle Abnanme
2) \( N(t)=N_{0} \neq_{e}^{-b^{*} t} \) Formel für den radioaktiven zerfal1 No=zerfallsfähige Atonkerne zum Zeitpunkt t=0 (Anfangswert) b=Zerfaliskonstante,abhăngig vom Materia1 TeHalbwertszeit, hier sind von No die Hälfte aller zerfallsfähigen Atomkerne zerfallen. \( N(T)=N o / 2 \)
daraus errechnet sich die "Zerfallskonstante" b \( \mathrm{N}(\mathrm{T})=\mathrm{N}_{0} / 2=\mathrm{N}_{0} * \mathrm{e}^{-\mathrm{b} * \mathrm{~T}} \)
\( 1 / 2=\mathrm{e}^{-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T}} \) logarithmiert ergibt \( \ln (0,5)=-\mathrm{b}^{*} \mathrm{~T} \) ergibt \( \mathrm{b}=1 \mathrm{n}(0,5) / \mathrm{-T} \)
"exponentielle Zunahme", Zinsrechnung Ein Kapital von Ko wird im Jahr mit einen Zinssatz von p verzinst. nach 1 Jahr \( \mathrm{K}(1)=\mathrm{K}_{0}+\mathrm{K}_{0} / 100 \mathrm{~T} *_{\mathrm{p}}=\mathrm{K}_{0} *(1+\mathrm{p} / 100 \mathrm{~T}) \)
\( a=(1+p / 100 z) \) ergibt die Forme1
\( \mathrm{K}(\mathrm{t})=\mathrm{K}_{0} *(1+\mathrm{p} / 100 \mathrm{z})^{\mathrm{t}} \)
"exponetielle Abnahme" Die jahrliche Inflation beträgt p (in Prozent) und das Anfangskapital Ko nach 1 Jahr \( \mathrm{K}(1)=\mathrm{K}_{0}-\mathrm{K}_{0} / 100 \mathrm{~g}^{*} \mathrm{p}=\mathbb{K}_{0} *(1-\mathrm{p} / 100 \mathrm{~T}) \)
\( a=(1-p / 100 z) \)
\( \mathrm{K}(\mathrm{t})=\mathrm{X}_{0} *(1-\mathrm{p} / 100 \mathrm{~g})^{\mathrm{t}} \)

 ~plot~10*0,8^x;[[0|25|0|15]];x=20~plot~