Woran erkenne ich bei Differentialgleichungen 1. Ordnung, ob sie ein Störglied haben?

Question

Woran erkenne ich bei Differentialgleichungen 1. Ordnung, ob sie nun ein Störglied haben oder nicht. Wann muss ich die Gleichung gleich Null setzen.

Ich habe bei den Aufgaben immer Probleme das zu erkennen. Gibt es da eine regel oder sowas?

Answer 1

Allgemein heißt eine Differentialgleichung homogen, wenn sie durch die Nulllösung erfüllt wird.

 

Also sind zum Beispiel

x'+3x = 0

x''' - x'' + x' = x

∂_x²ψ(x, t) - 1/c² ∂_t² ψ(x, t) = 0

homogene Differentialgleichungen.

Dagegen sind

x'+3x = e^t

x'' = 2t

x''-x = a*cos(wt)

inhomogene Differentialgleichungen.

 

Bei linearen Differentialgleichungen, also Differentialgleichungen, in denen die Ableitungen alle nur linear vorkommen, kannst du inhomogene Gleichungen lösen, indem du zunächst die zugeordnete homogene Gleichung löst (bei der du einfach die Inhomogenität gleich 0 setzt) und danach eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung dazu addierst. Das funktioniert aber nur für lineare Differentialgleichungen.

 

Comments

Hm, okay!

Kannst Du das bitte mal an dem Beispiel erklären? Ich weiss nicht ob ich die gleich Null setzen kann oder nicht?

 

x*y´+y = ln x +1

 

Vor allem ist für mich wichtig, woran man das sieht!

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Die gesuchte Lösung der Gleichung ist y(x): y(x) kommt in deiner Differentialgleichung aber nur linear vor. Damit gilt das Superpositionsprinzip und du kannst zuerst die homogene Gleichung lösen.

 

Ein Ausdruck L(y) ist linear, wenn gilt: L(ay₁+by₂) = a*L(y₁) + b*L(y₂)
Nun kann man jede Differentialgleichung in der Form
L(y, y', y'', ... , y⁽ⁿ⁾, x) = 0

schreiben. Wenn dieser Ausdruck in seinen ersten n Argumenten (also in allen Ableitungen von y) linear ist, dann heißt die Differentialgleichung linear.

Speziell für deine Differentialgleichung muss also
L(y, y', x) = x*y' + y - ln(x) - 1

linear in y und y' sein, das heißt es muss gelten:
L(ay₁+by₂, y', x) = aL(y₁, y', x) + bL(y₂, y', x)

L(y, ay₁'+by₂', x) = aL(y, y₁', x) + bL(y, y₂', x)

was in deiner Differentialgleichung sehr wohl erfüllt ist.

 

Um deine Gleichung zu lösen, kann man also erst

x*y'+y = 0

lösen und schließlich eine spezielle Lösung dazuaddieren.

x*y' + y = 0

xy' = -y

y' = -y/x

y'/y = -1/x

⇒ ln(y/y₀) = -ln(x/x₀)

y = c₁/x

wobei c₁ = y₀*x₀ mit dem Anfangswert y(x₀) = y₀.

 

Die partikuläre Lösung lässt sich sehr einfach finden, sie ist einfach ln(x), denn (ln(x))' = 1/x, also gilt:
x*y' + y = x*1/x + ln(x) = ln(x) + 1

 

Die vollständige Lösung lautet also

y(x) = c₁/x + ln(x)