Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 15 Metern?!

Question

Aufgabe:

Die Flugbahn einer Kugel kann annähernd durch eine quadratische Funktion beschrieben werden

y=b₁+b₂⋅x+b₃⋅x²,
wobei x die zurückgelegten Meter der Kugel, y die Höhe der Kugel in Metern, und b₁,b₂,b₃ die Parameter der Kugel bezeichnen.

Es liegen folgende vier empirische Messungen vor:

           xi     3        6        11       14
           yi    55      89      105     94
a. Ermitteln Sie den Parameter b1 der Flugbahn.
b. Ermitteln Sie den Parameter b2 der Flugbahn.
c. Ermitteln Sie den Parameter b3 der Flugbahn.
d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 15 Metern?
e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?

Problem/Ansatz:

Ich habe bei b1 = 20,68, b2= 12 und b3 = -0,67, aber leider sind die Ergebnisse falsch. Kann mir bitte einer weiterhelfen?

d. und e. konnte ich auch nicht ausrechnen.

              

Comments

d. und e. konnte ich auch nicht ausrechnen.

Das geht erst, wenn du die Funktionsgleichung der Parabel hast.

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Ich bin mit meinem Tip wahrscheinlich
ein wenig zu spät dran
- zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem ein
- zieichne von Hand die Ausgleichsparabel ein
- rechne mit 3 entnommenen Punkten die Parabel aus

Answer 1

Das Gleichungssystem der Steckbriefaufgabe mit vier Gleichungen in drei Unbekannten hat keine Lösung.

Man müsste daher mit der Methode der kleinsten Quadrate eine Parabel finden, die möglichst gut zu den vier Punkten passt.

Mein Taschenrechner kommt auf \( y=-0,9375 x^{2} + 19,4238 x + 5,491438\)

Keine Näherungslösung sondern eine Kurve auf der alle vier Punkte liegen bekommt man hingegen bei einer kubischen Funktion, weil es dort ein Gleichungssystem mit vier Gleichungen in vier Unbekannten gibt.

\( y=0,01439394 x^{3} - 1,304545 x^{2} + 22,16742 x - 0,15 \)

Aber es wurde ja nach einer quadratischen Funktion gefragt.

Comments

Da sind zwei unterschiedliche Ergebnisse, deswegen bin ich bisschen verwirrt. Welches Ergebnis stimmt den?

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Deine früheren Fragen hier suggerieren, dass du Wirtschaft studierst. Da nehme ich an, von den kleinsten Quadraten hast du schon mal gehört. Dazu würde auch das Wort "annähernd" in der Aufgabenstellung passen.

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Wie sind Sie auf  y=-0,9375 x² + 19,4238 x + 5,491438 gekommen?

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Regression mit der Methode der kleinsten Quadrate

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Wolframalpha hat gerade die Ergebnisse meines Taschenrechners bestätigt:

Dabei wurden die Variablennamen a, b und c verwendet anstatt b₃, b₂ und b₁.

Answer 2

Hallo,

ich komme auf

\(y=\frac{153}{44}+\frac{5305}{264}x-\frac{257}{264}x^2\)

d. Welche Flughöhe erreicht die Kugel nach 15 Metern?

Setzte für x 15 ein

e. In welcher Entfernung trifft die Kugel auf dem Boden auf?

Berechne die rechte/positive Nullstelle der Funktion.

Gruß, Silvia

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Könnten Sie vielleicht ihren Rechenweg zeigen?

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Ich habe das Gleichungssystem in einen Rechner eingegeben. DAS wollte ich nicht per Hand lösen.

Ich hatte die Koordinaten der Punkte 1, 2 und 4 genommen.

9a + 3b + c = 55

36a + 6b + c = 89

196a +14b + c = 94

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Wieso haben Sie nicht die Punkte der Koordinaten von 1,2 und 3?

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Die hatte ich zuerst, aber dann passte der 4. Punkt irgendwie nicht. Also habe ich eine andere Variante ausprobiert.

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Also sind Sie sich mit diesen Ergebnissen sicher?

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ich erhalte bei d. 85,86363636 und bei e. 20,81364082 ich glaube die sollten stimmen oder?

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Ich habe die Funktion bei Geogebra eingegeben und bekam dieses Ergebnis:

Answer 3

mit den ersten 3 Punkten komme ich auf

f(x)=-1 1/60*x²+20 29/60*x+2 7/10

mit f(14)=...=90 1/5  kommt nich genau hin

~plot~-61/60*x^2+1229/60*x+27/10;55;89;105;94;[[-10|25|-10|125]];x=3;x=6;x=11;x=14~plot~