Aloha :)
Wir brauchen einen Vektor \(\vec r\), der alle Punkte des Zylinders abtastet. In der \(xz\)-Ebene muss dieser Vektor einen Kreis mir Radius \(1\) beschreiben. Der Boden fällt mit der Ebene \(y=0\) zusammen, der Deckel mit der Ebene \(y=e^{\sqrt{x^2+z^2}}\). Formal fassen wir zusammen:
$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\y\\r\sin\varphi\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;y\in\left[0;e^{\sqrt{x^2+z^2}}\right]=\left[0;e^r\right]$$
In der \(xz\)-Ebene sind wir zu Polarkoordinaten übergegangen, wodurch sich das Flächenelement verzerrt:$$dx\,dz=r\,dr\,d\varphi\quad\implies\quad dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dy$$
Damit können wir das Integral für das Volumen formulieren:$$V=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{y=0}^{e^r}r\,dr\,d\varphi\,dy=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^1\left(\;\,\int\limits_{y=0}^{e^r}r\,dy\right)dr=2\pi\int\limits_{r=0}^1\left[ry\right]_{y=0}^{e^r}\,dr$$$$\phantom{V}=2\pi\int\limits_{0}^1re^r\,dr=2\pi\left(\left[re^r\right]_0^1-\int\limits_0^1e^r\,dr\right)=2\pi\left(e-\left[e^r\right]_0^1\right)=2\pi$$
