Kurvenintegral mit Green ausrechnen

Question

Aufgabe:

Ich habe bereits den Greenschen Integralsatz verwendet und komme damit auf ein Integral \( \int\limits_{D}^{} \)y²-2y d(x,y). Wie muss ich da aber jetzt die Kurve einsetzen?

Answer 1

Hallo,

die Spur von \(\gamma\) ist eine geschlossene Kurve, die den Rand einer Ellipse darstellt:

https://www.desmos.com/calculator/ufeu9eq3ox

Die beiden Komponentenfunktionen sind stetig mit stetigen partiellen. Sei \(E\) die Ellipse (E ist ein Kompaktum mit abschnittsweise glattem Rand). Dann gilt nach dem Satz von Green:$$\oint _{\partial E} (f(x,y),g(x,y))\cdot d(x,y)=\iint_E\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)-\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)\mathrm{d}x \mathrm{d}y$$ Der Witz ist jetzt, dass die ganzen komplizierten Terme rausfallen, weil du nur partiell nach einer der Parameter integrierst:$$\iint_E (x^3+y^2-x^3-2y)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_E (y^2-2y)\, \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$ Du kannst nun den Transformationssatz anwenden, um besser mit dem elliptischen Integrationsgebiet umzugehen.

Comments

Hallo, danke. Transformationssatz hatten wir bisher nicht. Welche Grenzen müsste ich den bei dem Doppelintegral einsetzen?

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Hallo,

in kartesischen Koordinanten lässt sich die Ellipse implizit beschreiben als \(\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{5^{2}}=1\). Du kannst das nun nach z. B. \(y\) umstellen und erhältst \(|y|=\frac{5}{3}\sqrt{9-x^2}\). Das heißt du intergierst in den Grenzen:$$-\frac{5}{3}\sqrt{9-x^2}\leq y\leq \frac{5}{3}\sqrt{9-x^2} \, \, \text{ und } -3\leq x\leq 3$$

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Super, danke!

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Gerne, als Kontrollösung: \(\boxed{\frac{375}{4}\pi}\).

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Könntest du mir vielleicht noch erklären, was ich einsetzen muss, wenn ich die Paramterdarstellung im Integral haben will, also nach dt?

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Ich weiß nicht genau, was du meinst. Willst du doch umparametrisieren?

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naja, weil wir hatten die Definition für die Ellipsengleichung noch nicht. Deswegen suche ich nach irgendeiner Methode wie man da mit den Grenzen [0, 2PI] arbeiten kann.

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Es kann sein, dass auf die Ellipsengleichung gar nicht eingegangen wird, das kennt man ggf. aus der Schule.