Aufgabe: Ableitung Kontrolle und Hilfe
Gegeben sind die Funktionen
\( \mathrm{f}: \mathrm{x} \rightarrow \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}-4 \)
\( g: x \rightarrow x-2 \)
a) Geben Sie die zusammengesetzten Funktionen \( \mathrm{f}+\mathrm{g}, \mathrm{f}-\mathrm{g}, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \) und \( \frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}} \) an.
b) Berechnen Sie die Funktionswerte an den angegebenen Stellen:
\( (\mathbf{f}+\mathrm{g})(0) \)
\( (\mathbf{f}-\mathrm{g})(1) \)
\( (\mathbf{f} \cdot \mathrm{g})\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( \left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)(-1) \)
c) Berechnen Sie unter Verwendung der Ableitungsregeln (gegebenenfalls nach vorheriger Vereinfachung)
\( (\mathbf{f}+\mathrm{g})^{\prime},(\mathrm{f}-\mathrm{g})^{\prime}, \quad(\mathrm{f} \cdot \mathrm{g})^{\prime} \) und \( \left(\frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}}\right)^{\prime} \)
d) Welche Steigung hat die Tangente
- bei der Summenfunktion \( \mathrm{f}+\mathrm{g} \) an der Stelle \( \mathrm{x}_{0}=1 \) ?
- bei der Differenzenfunktion \( \mathrm{f}-\mathrm{g} \) an der Stelle \( \mathrm{x}_{0}=0 \) ?
- bei der Produktfunktion \( \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \) an der Stelle \( \mathrm{x}_{0}=-1 \) ?
- bei der Quotientenfunktion \( \frac{\mathrm{f}}{\mathrm{g}} \) an der Stelle \( \mathrm{x}_{0}=3 \) ?
Problem/Ansatz:
a) \( f+g=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right)+(x-2)=x^{3}+x^{2}-3 x-6 \)
\( f-g=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right)-(x-2)=x^{3}+x^{2}-5 x-2 \)
\( f\cdot g=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right)(x-2)=x^{4}+x^{3}-4 x^{2}-4 x-2 x^{3}-2 x^{2}+8 x+8=x^{4}-x^{3}-6 x^{2}+4 x+8 \)
\(\frac{f}{g}=\left(x^{3}+x^{2}-4 x-4\right):(x-2)=x^{2}+3 x+2 \)
\( -\left(x^{3}-2 x^{2}\right) \)
\( 3 x^{2} \)
\( -\left(3 x^{2}-6 x\right) \)
\( 2 x \)
\( -(2 x-4) \)
b) \( 0^{3}+0^{2}-0 x-4+0-2=-6 \)
\( 1^{3}+1^{2}-4-4-(-1)-(-2)=-3 \)
\( \left(0,5^{3}+0,5^{2}-2-4\right)(0,5-2)=\frac{135}{16}=8,44 \)
\( \left(-1^{3}+-1^{2}+4-4\right):(-1-2)=0 \)
c) \( f(x)=x^{3}+x^{2}-4 x-4 \)
\( f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 x-4 \)
\( f^{\prime \prime}(x)=6 x+2 \)
\( g(x)=x-2 \)
\( g^{\prime}(x)=1 \)
\( f^{\prime}+g^{\prime}=3 x^{2}+2 x-3 \)
\( f^{\prime}-g^{\prime}=3 x^{2}+2 x-5 \)
\( f^{\prime} * g^{\prime}=3 x^{2}+2 x-4 \)
\( f / g=? \)
d) \( 3+5-3=5 \)
\( 0+0-5=-5 \)
\( -3+2-4=-5 \)
?
Die Ableitung ist ja 1, aber soll man damit die ganze sache einfach unverändert lassen? Fühlt sich irgendwie nicht richtig an
