Aloha :)
Wir rechen aus den Spaltenvektoren die linearen Abhängigkeiten heraus, indem wir sie durch elementare Gauß-Operationen auf Stufenform bringen:
$$\begin{array}{rrrrr}& -2S_1 & +S_1 & & +3S_1\\\hline3 & 6 & -3 & 0 & -9\\5 & 8 & 3 & 4 & 9\\4 & 2 & 14 & 6 & 6\\6 & 4 & 20 & 10 & 24\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrrr}& \cdot(-1) & +4S_2 & +2S_2 & +12S_2\\\hline3 & 0 & 0 & 0 & 0\\5 & -2 & 8 & 4 & 24\\4 & -6 & 18 & 6 & 18\\6 & -8 & 26 & 10 & 42\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrrr}& \cdot(-1) & +4S_2 & +2S_2 & +12S_2\\\hline3 & 0 & 0 & 0 & 0\\5 & -2 & 8 & 4 & 24\\4 & -6 & 18 & 6 & 18\\6 & -8 & 26 & 10 & 42\end{array}\quad\to\quad\begin{array}{rrrrr}& \colon2 & \colon(-6) & -S_3 & -9S_3\\\hline3 & 0 & 0 & 0 & 0\\5 & 2 & 0 & 0 & 0\\4 & 6 & -6 & -6 & -54\\6 & 8 & -6 & -6 & -54\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrrr} -5S_2 & & & & \\\hline3 & 0 & 0 & 0 & 0\\5 & 1 & 0 & 0 & 0\\4 & 3 & 1 & 0 & 0\\6 & 4 & 1 & 0 & 0\end{array}\quad\to\begin{array}{rrrrr}+14S_3 & -3S_3 & & & \\\hline3 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\-11 & 3 & 1 & 0 & 0\\-14 & 4 & 1 & 0 & 0\end{array}\quad\to$$$$\begin{array}{rrrrr} \colon3 & & & & \\\hline3 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\3 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}\quad\to\begin{array}{rrrrr}\vec b_1& \vec b_2 & \vec b_3 & & \\\hline1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 1 & 1 & 0 & 0\end{array}$$
Wir haben also drei Basisvektoren gefunden, daher ist der Rang der Matrix \(3\).
Jetzt solltest du mit den Unterräumen klar kommen... ;)
