Anfangswertproblem mit cos(y/x)

Question

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme und geben Sie die zugehörigen maximalen Definitionsbereiche an:

a) \( \left(y^{2}-2 y\right)+x^{2} y^{\prime}=0, \quad y(2)=1 \),

a) habe ich bereits gelöst mit \( \frac {2e}{e^{\frac{2}{x}} + e} \)

b) \( x y^{\prime} \cos \left(\frac{y}{x}\right)=y \cos \left(\frac{y}{x}\right)-x, \quad y(1)=\pi \).

Bei b) habe ich jedoch so meine Probleme:

Ich habe auch schon WolframAlpha zur Rate gezogen aber die Step-by-Step Lösung mit y= xv so, dass \( x \cos \left(\frac{1}{v}\right) \left(x v^{\prime}+v \right)= -x +x \cos \left(\frac{1}{v}\right)v \) rauskommt, bringt mich am Ende auch nicht weiter, gibt es hier einen Kniff den ich übersehe ?

Answer 1

Hallo,

Aufgabe a ist richtig

zu b)

Substituiere:

z=y/x

y=z*x

y' =z +z'x

x(z+z'x) cos(z) = zx cos(z) -x

x(z+z'x) cos(z) - zx cos(z) = -x

Klammere dann x cos(z) aus:

x cos(z) (z+z'x- z) = -x

x cos(z) z'x = -x

x^2 cos(z) z' +x =0

x( x cos(z) z' +1) =0

usw.

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Comments

ist das ein \(2kpi\) ? und wenn ja wo kommt das her ? Ansonsten vielen Dank schonmal diese Umformung ist logisch aber meiner Meinung nach echt viel Aufwand oder?

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die Sinusfunktion besitzt die Periode k*2π.

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Oh ja ok macht Sinn