Ganzrationale Funktionen loesen

Question

Aufgabe

Ganzrationale Funktionen
Bestimmen Sie ein Polynom p(x) 4. Grades mit den Eigenschaften: p(x) ist gerade, der
Funktionsgraph schneidet die x− Achse bei x= 1 und x= 4 und die y− Achse bei y= −1.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

hat ein Polynom die Nullstelle \(x=1\), so enthält es den Term \((x-1)\) als Teiler. Ist das Polynom gerade, muss es auch die Nullstelle \(x=-1\) und damit den Term \((x+1)\) enthalten. Fasst man dies zusammen, kommt man schon auf \((x^2-1^2)\) (-> 3.Binomische Formel).

Genau das gleiche gilt für die Nullstelle \(x=4\). Damit ist \(p(x)\)$$p(x)= a(x^2-1^2)(x^2-4^2)$$Den Faktor \(a\) findet man aus

schneidet ... die y− Achse bei y= −1

$$p(0) = -1 \\ \implies p(0) = a \cdot (-1)\cdot (-16) = -1 \\ \implies a = - \frac1{16}$$

~plot~ -(x^2-1)(x^2-16)/16 ~plot~

$$p(x)= -\frac 1{16}(x^2-1)(x^2-16) = \frac1{16}\left(-x^4 + 17x^2 - 16\right)$$

Gruß Werner

Answer 2

Hi,

"gerade" ist schon ein Schlagwort, dass den allgm Ansatz von \(y = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e\) auf \(y = ax^4 + cx^2 + e\) reduziert. Die ungeraden Glieder fallen also raus und wir haben eine Achsensymmetrie.

Nun sind es noch drei Unbekannte, die wir mit den Bedingungen:

f(1) = 0

f(4) = 0

f(0) = -1

lösen können.

Ich komme auf: \(f(x) = -0,0625x^4 + 1,0625x^2 - 1\)

Alles klar?

Grüße

Answer 3

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f'(0)=0
f'''(0)=0 → Die ersten beiden Bedingungen stehen hier für eine gerade Funktion 4. Grades
f(0)=-1 → Yachsenabschnitt
f(1)=0
f(4)=0 → Die letzten zwei Bedingungen stehen für die Nullstellen

Gleichungssystem

d = 0
6b = 0
e = -1
a + b + c + d + e = 0
256a + 64b + 16c + 4d + e = 0

Errechnete Funktion

f(x) = -0,0625·x^4 + 1,0625·x^2 - 1

Answer 4

Bestimmen Sie ein Polynom p(x) 4. Grades

(1)        \(p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx+e\)

p(x) ist gerade

In (1) ist dann \(b=0\) und \(d=0\). Es bleibt also nur noch

(2)        \(p(x)= ax^4 + cx^2 + e\)

übrig. Du brachst drei Bedingungen um ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen aufzustellen um die drei Unbekannten \(a\), \(c\) und \(e\) zu bestimmen.

der Funktionsgraph schneidet die x− Achse bei x= 1

Der Funktionsgraph schneidet die x−Achse wenn die y-Koordinate des Punktes auf dem Funktionsgraphen \(0\) ist. Das ergibt die Bedingung

    \(p(1)= 0\).

Einsetzen in \(2\) liefert die Gleichung

(I)        \(0 = a\cdot 1^4 + c\cdot 1^2 + e\).

die y− Achse bei y= −1.

Der Funktionsgraph schneidet die y−Achse wenn die x-Koordinate des Punktes auf dem Funktionsgraphen \(0\) ist. Das ergibt die Bedingung

        \(p(0) = -1\)

Einsetzen in \(2\) liefert die Gleichung

(II)        \(-1 = a\cdot 0^4 + c\cdot 0^2 + e\).

Finde die dritte Gleichung und löse das Gleichungssystem.