Aloha :)
Das Paraboloid \(z=x^2+y^2\) wird durch \(z=4\) nach oben beschränkt. Also ist \(x^2+y^2\) die untere Grenze für \(z\) und \(4\) die obere Grenze für \(z\), d.h. \(z\in[x^2+y^2\,|\,4]\). Wählen wir noch Polarkoordinaten für die Parametrisierung von \(x\) und \(y\), wird \(x^2+y^2=r^2\) und wir erhalten folgende Parametrisierung des Volumens:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;2]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad z\in[r^2;4]$$
Für die Anwendung des Gauß'schen Satzes brauchen wir die Divergenz des Vektorfeldes:$$\operatorname{div}\vec v=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos z+xy^2\\xe^{-z}\\\sin y+x^2z\end{pmatrix}=y^2+0+x^2=r^2$$
Mit dem Volumenelement \(dV=dx\,dy\,dz=r\,dr\,d\varphi\,dz\) lautet der gesuchte Fluss:$$\Phi=\oiint\limits_{\partial V}\vec v\,d\vec f=\iiint\limits_V\operatorname{div}\vec v\,dV=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{z=r^2}^4r^2\cdot r\,dr\,d\varphi\,dz$$Bei der Integrationsreihenfolge müssen wir etwas aufpassen, weil die untere Grenze für \(dz\) von \(r\) abhängt, müssen wir zuerst über \(dz\) integrieren, bevor wir über \(dr\) integrieren:$$\Phi=\underbrace{\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi}_{=2\pi}\cdot\int\limits_{r=0}^2r^3\underbrace{\left(\;\;\int\limits_{z=r^2}^4dz\right)}_{=4-r^2}dr=2\pi\int\limits_{r=0}^2r^3\left(4-r^2\right)dr=2\pi\int\limits_{0}^2\left(4r^3-r^5\right)dr$$$$\phantom{\Phi}=2\pi\left[r^4-\frac{r^6}6\right]_0^2=2\pi\left(16-\frac{64}{6}\right)=\frac{32}{3}\,\pi$$
