Berechnen sie alle vierten Wurzel der imaginären Einheit und geben Sie das Ergebnis in Polarkoordinaten an.

Question

Aufgabe:

Berechnen sie alle vierten Wurzel der imaginären Einheit und geben Sie das Ergebnis in Polarkoordinaten an.

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung.

Comments

kannst du denn i in Polarform angeben?

Answer 1

Aloha :)

Wandle zuerst \(i\) in die Polardarstellung um:$$i=\cos\frac{\pi}{2}+i\,\sin\frac{\pi}{2}=e^{i\,\frac{\pi}{2}}$$Berücksichtige, dass die Winkelfunktionen \(2\pi\)-periodisch sind:$$i=e^{i\,\frac{\pi}{2}+i\,2\pi\,n}\quad;\quad n\in\mathbb Z$$Ziehe die \(4\)-te Wurzel:$$\sqrt[4]{i}=\left(e^{i\,\frac{\pi}{2}+i\,2\pi\,n}\right)^{\frac{1}{4}}=e^{\left(i\,\frac{\pi}{2}+i\,2\pi\,n\right)\cdot\frac14}=e^{i\,\frac\pi8+i\,\frac\pi2\,n}$$Wegen der \(2\pi\)-Periode erhalten wir nur für \(n=0,1,2,3\) unterschiedliche Werte. (Für \(n=4\) kommt dasselbe raus wie für \(n=0\), für \(n=5\) dasselbe wie für \(n=1\)...). Damit gibt es vier unterschiedliche Wurzeln:$$\sqrt[4]{i}=e^{i\,\frac\pi8+i\,\frac\pi2\,n}=e^{i\pi\left(\frac18+\frac n2\right)}=e^{i\pi\frac{1+4n}8}\quad;\quad n=0,1,2,3$$

Comments

Vielen Dank erstmal.

Wieso ist das Bogenmaß pi/2, also 90° bzw a und b >0 ? (1 Quadrant)

Außerdem verstehe ich nicht, was mit periodisch gemeint ist, also wo i*2pi*n herkommt.

kann ich die Formel \( \sqrt[n]{r} \) (cos\( \frac{Bogenmaß+k*2pi}{n} \))+i*(sin\( \frac{Bogenmaß+k*2pi}{n} \)) benutzen? n=4 und k=(0/1/2/3) ... nur r habe ich halt nicht.

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ah ich habs verstanden vielen Dank. bis auf die Tatsache, wo die 90°(pi/2) herkommen.

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Die \(\frac\pi2\) sind nötig, damit der Cosinus verschwindet und der Sinus zu \(1\) wird. Damit kann lässt sich dann \(i\) mit Hilfe der Euler-Formel als \(e\)-Funktion schreiben.$$i=\underbrace{\cos\frac{\pi}2}_{=0}+i\cdot\underbrace{\sin\frac{\pi}2}_{=1}=e^{i\pi/2}$$

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das heißt ich muss bei allen aufgabentypen einfach nur gucken, dass cos=0 wird und sinus =1? oder gibt es da ausnahmen?

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Nicht ganz, du kannst jede komplexe Zahl mit Hilfe einer Exponentialfunktion schreiben:$$x+iy=r\cdot e^{i\varphi}\quad;\quad r\coloneqq\sqrt{x^2+y^2}\quad;\quad \varphi\coloneqq\arccos\left(\frac{x}{r}\right)$$Hier war \(x=0\) und \(y=1\), sodass \(i=0+i\cdot1=1\cdot e^{i\,\frac\pi2}\) gilt.

Ein Beispiel zeigt, wie man das In der Praxis machen kann:

1) Du möchtest \(z=3+4\,i\) mit einer \(e\)-Funktion schreiben.

2) Du bildest den Betrag \(\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\).

3) Du klammerst den Betrag aus: \(z=5\cdot\left(\frac35+i\cdot\frac{4}{5}\right)\)

4) Der Realteil in der Klammer ist gleich \(\frac{x}{r}\), daher ist \(\varphi=\arccos\frac35\approx53,13^\circ\)

5) Die gesuchte Darstellung ist \(z=5\cdot e^{i\cdot53,13^\circ}\).

Ob du den Winkel in Grad oder im Bogenmaß angibst, ist eigentich egal. In der Analysis wird jedoch das Bogenmaß bevorzugt, wohingegen in der Geometrie das Gradmaß vorherrscht. In der Landvermessung werden Winkel in gon angegeben (400gon sind ein Vollkreis).

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Ja die Nummern 1-5 verstehe ich, auch wenn ich den Winkel bei mir mit arctan (y/x) errechne.

nur in dem Beispiel wandle ich ja die kartesische Form in die Exponentialform um.

In der Aufgabe muss ja die trigonometrische (polarform) in die exponentialform umgewandelt werden wenn ich jetzt x=1 und y=2 habe, dann habe ich ja:

i=1+i*2 Wie kann ich das in die exponentialform umschreiben ?

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Wenn du den Winkel mit \(\arctan\) rechnest, musst du höllisch auf das Vorzeichen aufpassen. Für negative \(x\) musst du dann nämlich noch \(180^\circ\) addieren. Beim \(\arccos\) entfällt diese Korrektur.

$$z=1+2i=\sqrt5\cdot\left(\,\frac{1}{\sqrt5}+\frac{2}{\sqrt5}\,i\,\right)=\sqrt5\,e^{i\arccos\frac{1}{\sqrt5}}$$

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ah vielen dank, müsste dann aber \( \sqrt{5} \)e^(2*i+arccos\( \frac{1}{\sqrt{5}} \)) sein oder? also muss die 2 nicht beachtet werden und dann auch + arccos oder * ? kann ich nicht spaßeshalber als bogenmaß irgendwas einsetzen? Weil man kann es ja scheinbar immer umschreiben, auch wenn cos(phi) nicht 0 ergibt.

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$$z=1+2i=\sqrt5\cdot\left(\,\underbrace{\frac{1}{\sqrt5}}_{=\cos\left(\arccos\frac{1}{\sqrt5}\right)}+\underbrace{\frac{2}{\sqrt5}}_{=\sin\left(\arccos\frac{1}{\sqrt5}\right)}\,i\,\right)=\sqrt5\,e^{i\arccos\frac{1}{\sqrt5}}$$

Den Imaginärteil bekommst du sozusagen im Paket dazu geschenkt ;)

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achso ok dann weiß ich bescheid.

wenn ich jetzt einfach i=cos(pi)+i sin (pi) nehme kann ich das dann wie folgt rechnen:

r=\( \sqrt{cos(pi)^2+sin(pi)^2} \)   =>  1

1*(\( \frac{cos(pi)}{1} \)+\( \frac{sin(pi)}{1} \))

1*e^(i*arccos(\( \frac{cos(pi)}{1} \)) => e^(i*pi)

nur leider ergibt das ja nicht die richtige Lösung. also ich stehe halt nach wie vor auf dem schlau, warum da die pi/2 eingesetzt werden muss, schließlich kann ich das ja egal mit welchem Wert in die richtige Form bringen und somit berechnen.

Answer 2

vgl.:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=i%5E%281%2F4%29

Answer 3

$$z^4 = i = e^{i \cdot (\frac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi)}\\ z = e^{i \cdot (\frac{\pi}{8} + k \cdot \frac{\pi}{4})} ~~~ \text{mit k = \{0, 1, 2, 3\}}$$

Comments

Frage: Wo spielen solche Wurzeln (in der Praxis/Technik? ) eine Rolle?

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Ein großes Anwendungsgebiet ist die Physik. Sei es bei der Quantentheorie, Relativitätstheorie, oder bei der Vereinfachung von Differenzialgleichungen zu Schwingungsvorgängen. Aber auch beim Wechselstrom und daher in vielen Anwendungen der Elektrotechnik sind komplexe Zahlen sehr hilfreiche Rechenwerkzeuge.

Fairerweise muss man gestehen, dass ein normaler Schüler damit später wohl genau so oft in Berührung kommt wie mit einer Gedichtsanalyse :)

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Danke für die Info. :)