Man betrachtet die Summe
$$ \sum_{k=1}^{p-2} \left( 1 + \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} \right) \left( 1 + \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} \right)$$
Mit den Legendre Symbolen.
Der k-te Summand ist =4 wenn k und k+1 quadratische Reste mod p sind (beide Legendre Symbole sind hier = 1), ansonsten =0 (eines der beiden Legendre Symbole ist dann = -1)
Wenn wir also die Summe mal 1/4 betrachten erhalten wir die Anzahl der Paare $$ 0.25 \sum_{k=1}^{p-2} \left( 1 + \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} \right) \left( 1 + \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} \right) \\= 0.25 \sum_{k=1}^{p-2} 1 + \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} $$ Du solltest wissen, dass $$ \sum_{k=1}^{p-1} \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} = 0 $$
(Es gibt genauso viele quadratische Reste wie Nichtreste mod p)
Also vereinfacht sich die Summe $$ 0.25 \sum_{k=1}^{p-2} 1 + \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} \\ = 0.25\left[ (p-2) - \begin{pmatrix}p-1\\\hline p\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1\\\hline p\end{pmatrix} + \sum_{k=1}^{p-2} \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} \right] $$ Mit QRG beziehungsweise den Ergänzungssätzen:$$ = 0.25 \left[ p-3 - (-1)^{\frac{p-1}{2}} + \sum_{k=1}^{p-2} \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} \right]$$
Jetzt muss man sich noch überlegen, warum $$ \sum_{k=1}^{p-2} \begin{pmatrix}k\\\hline p\end{pmatrix} \begin{pmatrix}k+1\\\hline p\end{pmatrix} = \sum_{k=1}^{p-2} \begin{pmatrix}k(k+1)\\\hline p\end{pmatrix} = -1 $$ ist.
Dazu überlege man sich zuerst, dass
\( k(k+1) \) quadratischer Rest g.d.w. \( k^{-1}(k+1) \) quadratrischer Rest
Insbesondere ist dann
$$ \sum_{k=1}^{p-2} \begin{pmatrix}k(k+1)\\\hline p\end{pmatrix} = \sum_{x=1}^{p-2} \begin{pmatrix}1+x\\\hline p\end{pmatrix} = \sum_{x=2}^{p-1} \begin{pmatrix}x\\\hline p\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}1\\\hline p\end{pmatrix} = -1 $$