Steckbriefaufgabe, dritten Grades (Wendepunkt, Tiefpunkt)

Question

Bestimmen Sie die Funktiongleichung einer ganzrationalen Funktion dritten grades, deren Graph im Punkt w(0|2) einen Wendepunkt und im Punkt t(-1|0) einen Tiefpunkt besitzt.

Ansatz:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b

W(0|2) Wendepunkt	f''(0) = 0
=> Punkt (0|2) liegt auf Graphen	f(0) = 2
T(-1|0) Tiefpunkt	f'(-1) = 0
=> Punkt (-1|0) liegt auf Graphen	f(-1) = 0

Problem: letzte Zeile, Gleichungen daraus zu formulieren.

Vielen Dank für Antworten im Voraus...

Answer 1

Hallo,

W(0|2) Wendepunkt:

\(f''(0)=0  \Longrightarrow\\ 6\cdot a\cdot 0 +2b=0\\ 2b=0\\b=0\)

=> Punkt (0|2) liegt auf Graphen:

\(f(0)=2\Longrightarrow\\ a\cdot 0^3+c\cdot0+d=2\\d=2\\\)

T(-1|0) Tiefpunkt:

\(3a\cdot (-1)^2+c=0\\ 3a+c=0\)

=> Punkt (-1|0) liegt auf Graphen:

\(f(-1)=0\Longrightarrow \\ a\cdot(-1)^3+c\cdot(-1)+2=0\\ -a-c+2=0\)

Jetzt hast du noch zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Gruß, Silvia

Comments

Danke, wir lösen das dann mit einer Matrix (mit GTR).

Könntest du mir diese erste Matrix sagen, weil in meinen Lösungen im Buch steht füf f(x) = -x³ + 3x + 2

Ich glaube in meiner Matrix steckt ein kleiner Fehler, wodurch ich am Ende falsche Werte für a, b, d und d herausbekomme.

Update: Habs geschafft, hab bei der 4. Gleichung (4. Zeile der Matrix:) 1 0 0 1 | 2

Warum kommt für die Gleichung oben (= -a - c + 2 = 0) eine 1 für die +2 ?

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Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht ;-)

Du hast noch die beiden Gleichungen

\(3a+c=0\\c=-3a\)

und

\(-a-c+2=0\\-a-c=-2\)

Du könntest jetz für c "-3a" in die zweite Gleichung einsetzen...

Aber wenn die es unbedingt als Matrix schreiben willst, reicht auch das:

3 1 | 0

-1 -1 | -2

Answer 2

Hallo,

0=a*(-1)^3+b*(-1)^2+c*(-1)+d

Oder was meinst du mit "letzter Zeile"?

:-)

PS

\( f(x)=-x^{3}+3 x+2 \)

Den senkrechten Strich hinter dem = musst du wegdenken. (Das war der Textcursor.)

:-)

Comments

Denke... Ok, das ist dann die Gleichung für Punkt (-1|0)

Und für die anderen 3?

Ich meine die 4 freien Felder rechts in der Tabelle :)

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Ich dachte, du meinst die letzte Zeile der Tabelle.

Du hast doch schon alle Zutaten.

f''(0)=0 → 0=6a*0+2b

usw.

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Danke, ich versuchs jetzt nochmal

Answer 3

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph im Punkt W\((0|2)\) einen Wendepunkt und im Punkt T\((-1|0)\) einen Tiefpunkt besitzt.

doppelte Nullstelle im Punkt T\((-1|0)\):

\(f(x)=a(x+1)^2(x-N)\)

W\((0|2)\)

\(f(x)=a(0+1)^2(0-N)=2\)

\(a=-\frac{2}{N}\):

\(f(x)=-\frac{2}{N}[(x+1)^2(x-N)]\)

Wendepunkteigenschaft W\((0|...)\):

\(f'(x)=-\frac{2}{N}[(2x+2)(x-N)+(x+1)^2]\)

\(f''(x)=-\frac{2}{N}[2(x-N)+(2x+2)  +2(x+1)]\)

\(f''(0)=-\frac{2}{N}[2(0-N)+(2)  +2(0+1)]=0\)

\(N=2\)  →     \(a=-1\):

\(f(x)=-(x+1)^2(x-2)\)