Lösung von Exponential- und Logarithmengleichung

Question

Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe, Lösungen sind zwar dabei aber ich komme einfach nicht auf die Ergebnisse.

a) 3 ^x+1 + 3 ^x =5 ^x  Lösung: 2,7130

b) ln(x+4)+lnx= ln 5  Lösung: 1

c) 4 ^x + 2 ^2x-3 = 3^x  Lösung: -0,4094

Danke im Vorfeld! :D

Answer 1

Hallo,

du darfst bei a) und c) nur gleiche Potenzen addieren. Daher müssen die zusätzlichen Summanden im Exponenten zu Faktoren umgeformt werden.

a)

3^{x+1} + 3^x =5^x

3*3^x+1*3^x=5^x

4*3^x=5^x

4=(5/3)^x      | log

log(4)=x*log(5/3)

usw.

b)

ln(x+4)+lnx= ln 5 

ln((x+4)*x)=ln 5

(x+4)*x=5

x^2+4x-5=0

x=1 oder x=-5

Wegen x>0 entfällt x=-5.

--> x=1

c) 4^x + 2^{2x-3} = 3^x

4^{x}+2^{2x}*2^{-3}=3^x

4^x + 4^x *1/8 =3^x

9/8 * 4^x = 3^x

usw.

:-)

Comments

Zur Kontrolle
a.) x = 2.71383

Answer 2

b) \(\ln(5)=\ln(x+4)+\ln(x)=\ln(x(x+4))\Rightarrow\)

\(5=x(x+4)\Rightarrow x^2+4x-5=0\Rightarrow (x-1)(x+5)=0\),

d.h. \(x=1\) oder \(x=-5\), Nur \(x=1\) ist möglich, da \(\ln(-5)\) nicht definiert ist.

Answer 3

b) ln((x+4)*x) = ln5|e^x

x^2+4x=5

x^3+4x-5=0

(x+5)*(x-1)= 0

x= 1 v x=-5 (entfällt)

c) 2^(2x)+ 2^(2x-3) = 3^x

2^(2x)*(1+2^-3)= 3^x

(2^2/3)^x = 8/9

x*ln(4/3) = ln(9/8)

x= ln(9/8))/ln(4/3) =  0,4094