wie groß ist der Salzgehalt m(t) in kg im Tank zur Zeit t 0?

Question

Aufgabe:

Gegeben:

Tank mit 2000l Wasser, in dem 60kg Salz gelöst sind.

Beginnend mi \(t_0=0\) fließt pro Minute 15 Liter Salzlösung ab. Gleichzeitig fließt 15 Liter Wasser mit einem Salzgehalt von 3kg zu mit anschließender sofortiger Durchmischung.

a) wie groß ist der Salzgehalt m(t) in kg im Tank zur Zeit t>0?

b) Auf welchem Niveau stabilisiert sich der Salzgehalt?

Problem/Ansatz:

Ich habe leider keinen Ansatz. Die Menge an Salz die abließt, ändert sich ja ständig da 3kg gleichzeitig zufließen. Ich weiß nicht, wie ich die Änderung mathematisch ausdrücken soll.

Answer 1

Du solltest als erstes die Anfangsbedingung und die Differentialgleichung des Problems notieren.

m(0) = ...

m'(t) = ...

Comments

Wir haben mit dem Thema neu angefangen, d.h. also keine Beispiele oder sonstige Rechnungen. Nur wenige formale Definitionen wurden bereitgestellt, die mir nicht weiterhelfen. Ich versuche mithilfe dieser Aufgabe das Verständnis langsam aufzubauen. Könntest du mir exemplarisch erklären, was generell zu beachten ist bzw. wie man vorgeht?

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Eine Differentialgleichung könnte den folgenden Aufbau haben

m'(t) = a * m(t) + b

m'(t) ist die Änderungsrate des Satzgehaltes im Tank. Sie hängt mit Sicherheit vom aktuellen Salzgehalt m(t) ab und auch von dem Zufluss. Könnte man das mit a und b modellieren oder benötigt man da noch etwas anderes?

PS: Solche Einstiegsaufgaben werden übrigens jedes Jahr wieder in leicht veränderter Form benutzt. Du könntest also einfach mal nach Differentialgleichungen und Beispiele suchen. Bestimmt ist da das ein oder andere Beispiel dabei, was du benutzen kannst, indem du nur die Werte abänderst.

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Danke für die Hilfe! Das werde ich!

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b) Auf welchem Niveau stabilisiert sich der Salzgehalt?

Zur Kontrolle komme ich hier auf ein Ergebnis von 400 kg Salz im Tank.

Das wären also 0.2 kg pro Liter oder 3 kg pro 15 Liter.

Wenn 15 Liter mit diesen 3 kg Salz abließen und 15 Liter mit ebenso 3 kg hinzufließen, sollte der Salzgehalt stabil bleiben.

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Danke! Ich versuche erstmal, das Konzept zu verstehen und dann schau ich mal, ob ich die Aufgabe irgendwie gelöst bekomme

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Hey, habe das Prinzip ungefähr verstanden. Stimmt das folgende Ergebnis:

\(m(t)=-340e^{-\frac{3t}{400}}+400\)?

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Ja. Prima gemacht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=m%280%29%3D60%3Bm%27%28t%29%3D3-15%2F2000*m%28t%29