Folge - Grenzwert (obere Grenze)

Question

Aufgabe:

Finde eine nat. Zahl N, sodass die Folge (a_n)∈ℕ mit a_n = \( \sqrt{n+1} \) - \( \sqrt{n} \) gilt: a_n < 1/10 für alle n > N

Problem/Ansatz:

Wie geht man bei einer solchen Aufgabe am besten vor? Hilft es, die Funktion mit 1/10 gleichzusetzen und versuchen nach n aufzulösen? \( \sqrt{n+1} \) - \( \sqrt{n} \) = \( \frac{1}{10} \)

Answer 1

Aloha :)

Verwende die dritte binomische Formel:$$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt n)(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}$$$$\phantom{a_n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}<\frac{1}{\sqrt n+\sqrt n}=\frac{1}{2\sqrt n}$$In der Abschätzung haben wir verwendet, dass ein Burch größer wird, wenn sein Nenner kleiner wird.

Für alle \(n\ge N=25\) gilt daher:\(\quad a_n<\frac{1}{2\sqrt{25}}=\frac1{10}\).

Comments

Vielen Dank!