Aloha :)$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac14x^2 & \text{falls }x\le2\\[1ex]ax+b & \text{falls }x>2\end{array}\right.$$
zu a) Es sei \(a=\frac13\). Damit die Funktion bei \(x=2\) stetig ist, müssen der links- und der rechtsseitige Grenzwert an dieser Stelle gleich sein:$$\lim\limits_{x\nearrow2} f(x)=\lim\limits_{x\searrow2} f(x)\implies\lim\limits_{x\nearrow2}\left(\frac14x^2\right)=\lim\limits_{x\searrow2}\left(\frac13x+b\right)\implies1=\frac23+b\implies b=\frac13$$
zu b) \(f(x)\) soll bei \(x=2\) stetig und differenzierbar sein.
Stetig ist die Funktion, wenn ihr links- und rechtsseitiger Grenzwert an der Stelle \(x=2\) gleich sind:$$\lim\limits_{x\nearrow2} f(x)=\lim\limits_{x\searrow2} f(x)\implies\lim\limits_{x\nearrow2}\left(\frac14x^2\right)=\lim\limits_{x\searrow2}\left(ax+b\right)\implies1=2a+b$$Differenzierbar ist die Funktion, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten gleich ist:$$\lim\limits_{x\nearrow2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}\implies\lim\limits_{x\nearrow2} \frac{\frac14x^2-1}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2} \frac{(ax+b)-1}{x-2}$$Aus der Stetigkeitsbedingung wissen wir, dass \(1=2a+b\) bzw. \(b=1-2a\) sein muss:$$\lim\limits_{x\nearrow2} \frac{\frac14x^2-1}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2} \frac{ax+(1-2a)-1}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2} \frac{ax-2a}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2} \frac{a(x-2)}{x-2}=\lim\limits_{x\searrow2}a=a$$Damit können wir nun \(a\) bestimmen:$$a=\lim\limits_{x\nearrow2} \frac{\frac14x^2-1}{x-2}=\frac14\lim\limits_{x\nearrow2} \frac{x^2-4}{x-2}=\frac14\lim\limits_{x\nearrow2} \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}=\frac14\lim\limits_{x\nearrow2}(x+2)=1$$Also haben wir gefunden:$$a=1\quad;\quad b=-1$$
