Irreduzible Polynome vom Grad 2 in Fp Primzahl

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 3. Es sei \( p \) eine Primzahl. Wie viele irreduzible Polynome vom Grad 2 gibt es in \( \mathbb{F}_{p}[t] ? \)
Hinweis: Betrachten Sie zunächst die Menge der normierten, reduziblen Polynome. Zeigen Sie, dass ein solches Polynom eindeutig durch seine Nullstellenmenge bestimmt ist.

Problem/Ansatz:

Hallo, wir kommen leider nicht auf die Lösung wie man nur irreduzible Polynome betrachten soll und nicht normierte irreduzible Polynome. dass reduzibel <=> Nullstelle in Fp ist haben wir bereits gezeigt.

LG

Comments

reduzibel <=> Nullstelle in Fp

Das ist doch gut.

Jetzt schreibt man sich alle normierten Polynome vom Grad 2 mit Nullstellen hin

(x-0)*(x-0)
(x-0)*(x-1)
...
(x-0)*(x-(p-1))

(x-1)*(x-1)
(x-1)*(x-2)
...
(x-1)*(x-(p-1))

...

(x-(p-2))*(x-(p-2))
(x-(p-2))*(x-(p-1))

(x-(p-1))*(x-(p-1))

Das sind \(  p+(p-1)+...+1 = \frac{p(p+1)}{2} =  \frac{p^2}{2} + \frac{p}{2} \) reduzible normierte Polynome vom Grad 2.

Insgesamt gibt es \( p^2 \) normierte Polynome vom Grad 2. Somit sind es

$$ p^2 - \frac{p(p+1)}{2} = \frac{p^2}{2} - \frac{p}{2} $$

irreduzible normierte Polynome vom Grad 2.

Die kann man jetzt alle noch mit 1, ..., p-1 multiplizieren, also sind es insgesamt

$$ (p-1) \left( \frac{p^2}{2} - \frac{p}{2} \right) $$

irreduzible Polynome vom Grad 2

Es gibt auch eine allgemeine Formel:

https://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_polynomial#Over_the_integers_and_finite_field

Für diese benötigt man die Möbius Funktion:

https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_function

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VIelen dank!!

Answer 1

Ein irreduzibles normiertes Polynom \(f\) ist genau dann irreduzibel,

wenn \(a\cdot f\) für beliebiges \(a\in\mathbb{F}_p^*\) irreduzibel ist,

d.h. die Anzahl der irreduziblen Polynome ist das \((p-1)\)-fache der Anzahl

irreduzibler normierter Polynome. Wenn wir wissen, wieviele normierte

reduzible Polynome es gibt, kann man diese Anzahl von der Anzahl aller

normierten Polynome abziehen. Der Hinweis mit den Nullstellen

dient dazu, die Anzahl der normierten reduziblen Polynome zu bestimmen,

die man ja alle in der Gestalt \(f=(x-a)(x-b)\) schreiben kann.