Wenn ihr Ableitung so definiert habt:
$$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$$
geht A so:
Du musst betrachten :
$$\lim\limits_{h\to0}\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(f(x+h)+g(x+h)-(f(x)+g(x))}{h}$$
und da machst du zwei Brüche draus
$$=\lim\limits_{h\to0}(\frac{f(x+h)-f(x)}{h} +\frac{g(x+h)-g(x)}{h})$$
Und die Grenzwerte der Summanden darf man ja auch einzeln betrachten, also
$$=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} +\lim\limits_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} = f ' (x) + g'(x) $$
Natürlich alles unter der Vor., dass f und g differenzierbar etc.
Beim Produkt ist es etwas pfiffiger, da kommst du mit dem entsprechenden Ansatz auf
$$\lim\limits_{h\to0}\frac{(f \cdot g)(x+h)-(f \cdot g)(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{(f(x+h) \cdot g(x+h)-f(x) \cdot g(x)}{h}$$
Das kann man etwas aufbauschen indem du einen Term subtrahierst und sofort wieder addierst:
$$=\lim\limits_{h\to0}\frac{(f(x+h) \cdot g(x+h) -f(x) \cdot g(x+h) +f(x) \cdot g(x+h) -f(x) \cdot g(x)}{h}$$
Dann ausklammern und wieder 2 Grenzwerte draus machen
$$=\lim\limits_{h\to0}\frac{(f(x+h) -f(x)) \cdot g(x+h) }{h}+\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x) \cdot (g(x+h) - g(x))}{h}$$
Und wegen der Stetigkeit von g geht ja g(x+h) für h gegen 0 auch gegen g(x) und du hast es.
