Aloha :)
Für die gegebene Funktion$$f(x)=x^4-6x^2+5$$suchen wir zwei Zahlen mit der Summe \((-6)\) und dem Produkt \(5\). Das leisten die Zahlen \((-5)\) und \((-1)\). Damit können wir den Funktionsterm umschreiben:$$f(x)=(x^2-5)(x^2-1)\stackrel{\text{(3-te bin. Formel})}{=}(x-\sqrt5)(x+\sqrt5)(x-1)(x+1)$$Wir lesen 4 Nst. ab: \(\quad N_1(-1|0)\quad;\quad N_2(1|0)\quad;\quad N_3(-\sqrt5|0)\quad;\quad N_4(\sqrt5|0)\)
Wir formen die Funktion mit Hilfe der quadratischen Ergänzung erneut um:$$f(x)=(x^4-6x^2+\overbrace{9)-4}^{=5}\stackrel{(\text{1-te bin. Formel}}{=}(x^2-3)^2-4$$Die Klammer hat ihren minimalen Wert \(0\) bei \(x=\pm\sqrt3\), sodass die Funktion dort ihren minimalen Wert \((-4)\) annimmt.
Wir haben also zwei Minima bei: \(\quad\text{Min}_1(-\sqrt3|-4)\quad;\quad\text{Min}_2(\sqrt3|-4)\)
Da alle Potenzen in \(f(x)\) gerade sind, ist die Funktion achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Weiter wissen wir, dass zwischen zwei Minima ein Maximum liegen muss. Also muss exakt in der Mitte der Minima ein Maximum liegen.
Wir haben also ein Maximum bei: \(\quad\text{Max}(0|5)\)
Mehr als 3 Extrema kann die Funktion nicht haben, weil ihre erste Ableitung ein Polynom 3-ter Ordnung ist, das maximal 3 Nullstellen haben kann.
Kandidaten für Wendepunkte sind die Nullstellen der zweiten Ableitung:
$$f'(x)=4x^3-12x$$$$f''(x)=12x^2-12=12(x^2-1)=12(x-1)(x+1)$$$$f'''(x)=24x$$Die Nullstellen der zweiten Ableitung liegen bei \(\pm1\). Die 3-te Ableitung ist an diesen beiden Stellen \(\ne0\), also finden wir bei \(\pm1\) nicht nur Nullstellen, sondern sogar Wendepunkte.
Wir haben also 2 Wendepunkte: \(\quad W_1(-1|0)\quad;\quad W_2(1|0)\)
~plot~ x^4-6x^2+5 ; [[-3|3|-5|10]] ~plot~
