(a) Siehe https://www.mathelounge.de/886484/zeigen-sie-dass-m-abzahlbar-ist
(b) Finde eine Injektion von den Polynomen mit ganzzahligen Koeffiezenten in die natürlichen Zahlen.
Eine Möglichkeit ist
\( f: P \rightarrow \mathbb{N} \),
\( f\left(\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} x^{k}\right)=\prod \limits_{k=0}^{n}\left(\left\{\begin{array}{l}p_{2(k+1)}^{a_{k}}, \text { wenn } a_{k} \geq 0 \\[10pt] p_{2(k+1)+1}^{\left|a_{k}\right|}, \text { wenn } a_{k}<0\end{array}\right.\right) \)
\(p_k\) bezeichnet hier die kte Primzahl und \(P\) die Menge der Polynome mit ganzrationalen Koeffizienten.
Jetzt musst du noch beweisen, dass die Funktion injektiv ist. Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist hier wichtig.
Für den zweiten Teil des Beweises, benutzt du den Fundementalsatz der Algebra, nämlich dass ein Polynom nten Grades maximal n Nullstellen hat.
Bezeichne nun \(A_{p}\) die Menge der Nullstellen des Polynoms \(p\) (mit ganzrationalen Koeffizienten). Dann gilt:
\(A = \bigcup_{p \in P}^{} A _{p}\)
wobei \(A\) die Menge der algebraischen Zahlen bezeichnet. Wir haben gezeigt, dass \(P\) abzählbar ist. Es ist klar, dass jedes
\(A _{p}\) endlich und somit abzählbar ist. Mit (c) folgt die Abzählbarkeit von \(A\).
(c)
Da es eine Vereinigung abzählbar vieler Mengen ist, existiert eine Funktion welche jeder der Mengen nummeriert, sei diese mit
\(I\) bezeichnet. Wir betrachten also
\( \bigcup_{i \in I}^{} M_{i} \)
Für jedes \( M_{i}\) gibt es eine Injektion
\( f _{i} \colon M_{i}\to \mathbb{N} \)
Unsere finale Injektion ist nun
\(\Psi \colon \bigcup_{i \in I}^{} M_{i} \to \mathbb{N}, \\[10pt] \Psi(x) = 2^{i} 3^{f _{i}(x)} \text{ mit } i = \min_{j \in I} \left\{x \in M_{j}\right\} \)
Du musst nun wieder die Injektivität beweisen.
Bemerkung: Für die c) lohnt es sich mal etwas über das Auswahlaxoim der Mengenlehre zu lesen.
