Summanden im Grenzwertausdruck bestimmen

Question

ich habe folgendes problem:

lim x-->unendlich  ((x+c)/(x-c))^x =42   ist teilelement von R

Ich soll jetzt c so bestimmen, dass der ausdruck oben gilt. Ich habe aber keine idee wie ich das anstellen soll. Kann mir jemand weiterhelfen?

Answer 1

Lim (x→∞) [(x-c+2c)/(x-c)]^x = Lim (x→∞) [1+2c/(x-c)]^x

Substituiere: 2c/(x-c) = 1/t ==> x = c(2t+1), mit t→∞

Lim (t→∞) [1+1/t]^c(2t+1) = Lim (t→∞) [(1+1/t)*(1+1/t)^2t]^c

für c ≠ ∞ gilt:

Lim (t→∞) (1+1/t)^c = 1

und
Lim (t→∞) [(1+1/t)^2t]^c = Lim (t→∞) [(1+1/t)^t]^2c = e^{2c}

jetzt noch nach c auflösen

e^{2c} = 42
2c = ln42
c = ln42/2


schöne grüße nach paderborn :)

Comments

danke für die hilfe habe aber noch eine frage. Wie kommst du in der ersten zeile von x-c auf 1 im zähler?

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 [ (x-c+2c) / (x-c) ]^x
 [ ( x-c ) / ( x - c ) +2c / (x-c) ]^x
 [ 1 +2c / (x-c) ]^x

mfg Georg