Bestimmen Sie den Wertebereich sowie die Zähldichte der Zufallsvariablen X

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Wertebereich sowie die Zähldichte der Zufallsvariablen X

Problem/Ansatz:

Die Anzahl der Eier, die ein Insekt legt, sei durch eine zum Parameterα∈(0,∞) Poisson-verteilte Zufallsvariable N gegeben. Aus jedem der Eier schlüpfe,unabhängig von den anderen Eiern, mit Wahrscheinlichkeit p∈(0,1) eine Larve. Bestimmen Sie den Wertebereich sowie die Zähldichte der Zufallsvariablen X, die die Anzahl der geschlüpften Larven angibt. Um welche Verteilung handelt es sich?

Hinweis:Verwenden Sie die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit (Satz 4.4) für die Folge A_i:={N=i},i∈N0, um für festes k∈N₀ die Wahrscheinlichkeit P(X=k) zu berechnen

Comments

Hallo,

Du sollst - so verstehe ich das - die Wahrscheinlichkeit

$$P(X=k \mid A_i)P(A_i)$$

berechnen und das alles über i summieren. Dabei bedeutet \(P(X=k \mid A_i)\) die Wahrscheinlichkeit, dass k Larven schlüpfen, wenn i Eier gelegt sind. Kannst Du diese Wahrscheinlichkeiten aus dem Text entnehmen? Eventuell musst Du mal zur Binomial-Verteilung nachlesen.

Gruß Mathhilf

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sowie es aussieht wollen die dass ich P(N=n) bestimme und dabei sollen wir den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit verwenden bzw

P(X=x) = \( \sum\limits_{x=0}^{\infty}{P(X=x|A_i)P(A_i)} \)

Meine Frage wäre ist P(A_i) poissonverteilt weil es ja die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der Eier angibt ?

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Die Reihe läuft über i, nicht über x

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habe ich gerade geändert, hatte mir das genauer angeschaut und bemerkte dass das kein Sinn machte!

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vertippt... okay also meine frage wäre P(Ai) ist doch poissonverteilt oder?

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Ja, N ist Poisson-Verteilt und daraus bestimmt sich P(A_i)

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okay jetzt muss ich wissen wie ich die aufgabe löse.. was meintest du mit binimialkoeffzient hinsichtlich welchem Aspekt ?

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Ich habe nicht von einem Binomial-Koeffizienten gesprochen. Es bleibt auch nur ein Aspekt ungeklärt.

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wie viele Teilmengen Ai es gibt ?

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Da hast doch selbst i von 0 bis \(\infty\) laufen lassen

PS: Bin jetzt weg

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komme leider nicht mehr weiter ...

Answer 1

Hallo,

ich sehe die Lösung so: Der Larvenprozess ist binomial-verteilt. k Larven können nur entstehen, wenn mindesten k Eier vorhanden sind. Füt \(i \geq k\) gilt:

$$P(X=k \mid A_i)P(A_i)= {i \choose k} p^k(1-p)^{i-k} \frac{a^i}{i!}\exp(-a)$$

$$= \frac{i!}{k!(i-k)!} p^k(1-p)^{i-k} \frac{a^i}{i!}\exp(-a)$$

$$=\frac{1}{(i-k)!}(1-p)^{i-k}a^{i-k} \frac{1}{k!}(pa)^k\exp(-a)$$

Die hinteren Faktoren enthalten kein i und haben mit der Summation nichts zu tun. Summation von i=k bis \(\infty\) ergibt:

$$=\exp((1-p)a) \frac{1}{k!}(pa)^k\exp(-a)= \frac{1}{k!}(pa)^k\exp(-ap)$$

Also eine Poisson-Verteilung mit Parameter ap.

Gruß Mathhilf

Comments

leider weiß ich nicht wie du auf die letzte zeile gekommen bist ? also die umformungen dahinter

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Ich habe die Reihendarstellung für die exp-Funktion benutzt:

$$\exp(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$

mit \(x=(1-p)a\)