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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Funktion$$f(x)=-x^4+5x^2-4$$hat nur gerade Exponenten und ist daher achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse.
Verhalten im Unendlichen:
Da der dominierende Summand \(-x^4\) für \(x\to\pm\infty\) gegen \(-\infty\) tendiert, fällt die Funktion sowohl für \(x\to-\infty\) als auch für \(x\to+\infty\) ins negative Unendliche \((-\infty)\).
Nullstellen:
Ihre Nullstellen kannst du z.B. nach Zerlegung in Linearfaktoren:$$f(x)=-(x^4-5x^2+4)=-(x^2-4)(x^2-1)=-(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)$$ablesen:\(\quad N(-2|0)\quad;\quad N(-1|0)\quad;\quad N(1|0)\quad;\quad N(2|0)\)
Extrema:
Kandidaten für Extremstellen findest du dort, wo die erste Ableitung verschwindet:$$0\stackrel!=f'(x)=-4x^3+10x=-4x\left(x^2-\frac52\right)=-4x\left(x+\sqrt{\frac52}\right)\left(x-\sqrt{\frac52}\right)$$Damit haben wir 3 Kandidtan:\(\quad x_1=-\sqrt{\frac52}\quad;\quad x_2=+\sqrt{\frac52}\quad;\quad x_3=0\)
Die zweite Ableitung \(f''(x)=-12x^2+10\) gibt Auskunft über die Art der Extrema:
$$f''(-\sqrt{5/2})=-20<0\implies\text{Max}\left(-\sqrt{\frac52}\bigg|\frac94\right)$$$$f''(0)=10>0\implies\text{Min}\left(0|-4|\right)$$$$f''(\sqrt{5/2})=-20<0\implies\text{Max}\left(\sqrt{\frac52}\bigg|\frac94\right)$$
Flächeninhalt:
Wenn der Graph oberhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist das Integral positiv. Wenn der Graph unterhalb der \(x\)-Achse verläuft, ist das Integral negativ. Bei der Bestimmung der Fläche zwischen dem Graphen und der \(x\)-Achse musst du daher von einer Nullstelle zur nächsten integrieren und von jedem einzelnen Integral den Betrag nehmen:
$$F=\left|\int\limits_{-2}^{-1}f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{-1}^{1}f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{1}^{2}f(x)\,dx\right|$$Wegen der Achsensymmetrie der Funktion, ist das Integral über \([-2|-1]\) genau so groß wie das Integral über \([1|2]\):
$$F=\left|\int\limits_{-1}^{1}f(x)\,dx\right|+2\cdot\left|\int\limits_{1}^{2}f(x)\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac53x^3-4x\right]_{-1}^{1}\right|+2\cdot\left|\left[-\frac{x^5}{5}+\frac53x^3-4x\right]_{1}^{2}\right|$$$$\phantom{F}=\left|-\frac{38}{15}-\frac{38}{15}\right|+2\left|-\frac{16}{15}+\frac{38}{15}\right|=\frac{76}{15}+2\cdot\frac{22}{15}=\frac{120}{15}=8$$