Lösen sie das folgende Anfangswertproblem (x = x(t), y = y(t))

Question

Aufgabe:

Lösen sie das folgende Anfangswertproblem (x = x(t), y = y(t))

{ x= x + 4y − e^t, mit x(0) = −0.5, y(0) = 0,


{ y= x + y + 2e^t

Die zwei geschweiften Klammern sollen eine geschweifte Klammer darstellen.
Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo,

das ist ein DGL Gleichungssystem:

x ' = x + 4y − e^t, mit x(0) = −0.5, y(0) = 0,

y '= x + y + 2e^t

Lösungsweg:

1) Eigenwerte:

det (A-λE)=  | 1 -λ       4 |      =0

    | 1        1-λ |

(1-λ)² -4=0

λ² -2 λ -3=0

λ₁=3

λ₂= -1

2. Eigenvektoren berechnen:

\( v_{1}=(2,1) \) für EW 3

\( v_{2}=(-2,1) \) für EW -1

 3.Ansatz partikuläre Lösung:

x_p= b e^t ; x_p'=b e^t

y_p= B e^t ;  y_p'=B e^t

4. Einsetzen von x, x' y, y' in die Aufgabe

----->

a1) x ' = x + 4y − e^t

b e^t =b e^t +4 B e^t − e^t

0 =4 B e^t − e^t

0 =e^t(4 B − 1) |:e^t ≠0

0 =4 B − 1 ->B= 1/4

a2)

y '= x + y + 2e^t

B e^t =b e^t +B e^t + 2e^t

0 =b e^t + 2e^t

0 =e^t (b + 2) |:e^t

b= -2

--------->

xp= -2 e^t

yp= 1/4 e^t

5. x=xh+xp , y=yh+yp

x=2 C₁e^(3t) -2 C₂ e^(-t) -2e^t

y=C₁ e^(3t) +C₂ e^(-t) +e^t/4

6.AWB in die Lösung einsetzen.

x(0) = −0.5, y(0) = 0 in 5 einsetzen:

C₁= 1/4

C₂= -1/2

7. Lösung :

\( x(t)=e^{-t}-2 e^{t}+0.5 e^{3 t} \)

\( y(t)=-0.5 e^{-t}+0.25 e^{t}+0.25 e^{3 t} \)