Hallo,
das ist ein DGL Gleichungssystem:
x ' = x + 4y − e^t, mit x(0) = −0.5, y(0) = 0,
y '= x + y + 2e^t
Lösungsweg:
1) Eigenwerte:
det (A-λE)= | 1 -λ 4 | =0
| 1 1-λ |
(1-λ)^2 -4=0
λ^2 -2 λ -3=0
λ1=3
λ2= -1
2. Eigenvektoren berechnen:
\( v_{1}=(2,1) \) für EW 3
\( v_{2}=(-2,1) \) für EW -1
3.Ansatz partikuläre Lösung:
xp= b e^t ; xp'=b e^t
yp= B e^t ; yp'=B e^t
4. Einsetzen von x, x' y, y' in die Aufgabe
----->
a1) x ' = x + 4y − e^t
b e^t =b e^t +4 B e^t − e^t
0 =4 B e^t − e^t
0 =e^t(4 B − 1) |:e^t ≠0
0 =4 B − 1 ->B= 1/4
a2)
y '= x + y + 2e^t
B e^t =b e^t +B e^t + 2e^t
0 =b e^t + 2e^t
0 =e^t (b + 2) |:e^t
b= -2
--------->
xp= -2 e^t
yp= 1/4 e^t
5. x=xh+xp , y=yh+yp
x=2 C1e^(3t) -2 C2 e^(-t) -2e^t
y=C1 e^(3t) +C2 e^(-t) +e^t/4
6.AWB in die Lösung einsetzen.
x(0) = −0.5, y(0) = 0 in 5 einsetzen:
C1= 1/4
C2= -1/2
7. Lösung :
\( x(t)=e^{-t}-2 e^{t}+0.5 e^{3 t} \)
\( y(t)=-0.5 e^{-t}+0.25 e^{t}+0.25 e^{3 t} \)