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Der Zauberlehrling H.P. hat noch 11 Wochen, d.h. 77 Tage, bis zur Prüfung im Fach „Verteidigung gegen die dunklen Künste". Der „Riddikulus-Zauber" bereitet ihm besondere Probleme.

Daher beschließt er diesen jeden Tag mindestens einmal zu üben, jedoch höchstens 12 Mal in einer Woche, um seine Kräfte einzuteilen. Zeigen Sie, dass es einen Zeitraum aufeinanderfolgender Tage gibt, an denen H.P. den Zauber zusammen genau 21 Mal übt.


(Hinweis: Sei dazu a1 a_{1} die Anzahl der Übungen am ersten Tag, a2 a_{2} die Gesamtzahl der Übungen an Tag 1 und 2 , und allgemein ai,i{1,,77} a_{i}, i \in\{1, \ldots, 77\} die Gesamtzahl der Übungen an den Tagen 1 bis i i . Betrachten Sie die Zahlen ai a_{i} und ai+21 a_{i}+21 und verwenden Sie das Schubfachprinzip.)

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Wir konzentrieren uns auf die nächsten 11 Wochen, also 77 Tage, beginnend an einem Montag. Mit an a_{n} bezeichnen wir die Anzahl an Spielen, welche während der ersten n n Tage gespielt wurden. Betrachten wir nun die Folge

a1,a2,,a77,a1+21,a2+21,,a77+21.\begin{aligned}a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{77}, a_{1}+21, a_{2}+21, \ldots, a_{77}+21 .\end{aligned}

Die Folge umfasst 154 Terme von welchen keiner die Zahl 1112+21=153 11 \cdot 12+21=153 überschreitet, da wir in jeder Woche höchstens 12 mal üben. Wegen dem Schubfachprinzip müssen also zwei Folgenglieder den gleichen Wert annehmen, nennen wir sie ai a_{i} und aj a_{j} . Nun kann es nicht sein, dass sowohl ai a_{i} als auch aj a_{j} unter den ersten 77 Folgenglieder sind, da H.P. ja jeden Tag mindestens einmal übt und dementsprechend die Teilfolge der ersten 77 Folgenglieder streng monoton wachsend ist. Aus dem gleichen Grund kann es nicht sein, dass sowohl ai a_{i} als auch aj a_{j} unter den letzten 77 Folgengliedern sind. Also ist o.V.d.A. aj=ai+21 a_{j}=a_{i}+21 , und somit gibt es eine Folge an konsekutiven Tagen, beginnend am Tag i+1 i+1 und endend am Tag j j , während welcher H.P. genau 21 mal übt.

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