Geben Sie für die Zufallsvariablen X und Y und Z = 10X−3Y−25 jeweils ein möglichst kurzes Intervall an.

Question

X und Y sind unabhängige Zufallsvariablen mit E(X) = 5, Var(X) = 0.4, E(Y) = 5, Var(Y) = 2.5.

Geben Sie für die Zufallsvariablen X und Y und Z = 10X−3Y−25 jeweils ein möglichst kurzes Intervall an, in das die Werte der genannten Zufallsvariablen mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% fallen.

Answer 1

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung holen wir uns:$$Z\coloneqq 10X-3Y-25\quad;\quad\left<X\right>=5\quad;\quad\left<Y\right>=5\quad;\quad\sigma_X^2=0,4\quad;\quad\sigma_Y^2=2,5$$

Der Erwartungswert von \(Z\) folgt aus der Linearität des Erwartungswertes:$$\left<Z\right>=\left<10X-3Y-25\right>=10\left<X\right>-3\left<Y\right>-25=50-15-25=10$$

Da \(X\) und \(Y\) nach Voraussetzung linear unabhängig sind, ist ihre Kovrianz \(=0\) und die Varianz von \(Z\) lässt sich wie folgt bestimmen:$$\sigma_Z^2=\operatorname{Var}(10X-3Y-25)=\operatorname{Var}(10X-3Y)$$$$\phantom{\sigma_Z^2}=10^2\operatorname{Var}(X)+(-3)^2\operatorname{Var}(Y)+2\cdot10\cdot(-3)\operatorname{Cov}(X;Y)$$$$\phantom{\sigma_Z^2}=100\cdot\sigma_X^2+9\cdot\sigma_Y^2-60\cdot0=62,5$$

Das \(90\%\)-Intervall der Normalverteilung ist das \(1,644854\,\sigma\)-Intervall um den Erwartungswert herum, wie man aus einer Tabelle zur Standardnormalverteilung entnehmen kann. Das gesuchte Intervall ist daher:$$\left<Z\right>-1,644854\,\sigma_Z\le Z\le\left<Z\right>+1,644854\,\sigma_Z$$$$-3,00\le Z\le23,00$$