Entscheiden Sie jeweils begründet, ob es sich um lineare Abbildungen handelt.

Question

Nabend! Die erste Aufgabe habe ich fast fertig. Mir geht es eher um Aufgabe b). Hierfür habe ich leider gar keinen Ansatz. Wie gehe ich vor? YouTube etc. haben mir leider nicht weitergeholfen.

a) Entscheiden Sie jeweils begründet, ob es sich um lineare Abbildungen handelt:)

i)\( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, x \mapsto(x, 0, x) \)

ii) \( f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}), a \mapsto a x+1 \)

b) Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( T_{a, b}: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert durch\(T_{a, b}(p)=\left(3 p(4)+5 p^{\prime}(6)+a p(1) p(2), \int \limits_{-1}^{2} x^{3} p(x) \mathrm{d} x+b \sin (p(0))\right) .\) Beweisen Sie, dass \( T_{a, b} \) linear ist genau dann, wenn \( a=b=0 \).

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Untersuchen Sie, ob es sich um lineare Abbildungen handelt und begründen Sie ihre Entscheidung:

Stichworte: lineare-algebra,abbildung,vektoren

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob es sich um lineare Abbildungen handelt und begründen Sie ihre Entscheidung:

i) \( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, x \mapsto(x, 0, x) \)

ii) \( f_{2}: \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{R}), a \mapsto a x+1 \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß ungefähr wie man vorgeht, aber trotzdem kapiere ich das nicht...Kann jemand vielleicht eine Aufgabe vormachen? Muss natürlich nicht die selbe Aufgabe sein!

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Wo existiert diese Aufgabe? Finde es gerade nicht. Die andere Frage existiert; das habe ich jetzt auch gemerkt.

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Kannst du mir vielleicht erklären wie man bei Aufgabe b genauer vorgeht. Hab so eine ähnliche Aufgabe nur mit anderen Werten. Möchte gerne wissen wie der Ansatz dabei genauer ist.

Answer 1

Bei b) musst du Äquivalenz zeigen also zeigst du zunächst die Hinrichtung und dann die Rückrichtung.

Starte z.B. mit „=>“ indem du annimmst dass \( T_{a, b} \) linear ist, überlege dir was demnach gelten muss und versuche dies dann zur gewünschten Folgerung zu führen.

(Du kannst auch andere Beweistechniken wie etwa Kontraposition o.Ä. wählen)

Wenn du dies getan hast bleibt nur noch die Rückrichtung zu zeigen, für die du nun genau die andere Seite annimmst (also a=b=0) und daraus Linearität für \( T_{a, b} \) folgerst. (Auch hierbei kannst du die Beweistechnik natürlich auswählen, ein direkter Beweis ist oft nicht der einfachste)

Ich hoffe es hilft dir einen Start zu finden.

Comments

Dankeschön! Werde es gleich ausprobieren.

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Kannst du mir dabei helfen SendHelpPlease, falls du es jetzt verstanden hast?

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Bei a) muss man nach Additivität und Homogenität prüfen. Trotzdem verstehe ich es nicht.

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@Math_95

Habe a)i) mal für dich aufgeschrieben.

Text erkannt:

a) i)
\( f_{1}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \quad x \mapsto(x, 0, x) \)
Beispiel: \( f(1)=(1,0,1)^{t r} \)
folls \( f_{1} \) linear ist, muss gelten:
\( f_{1}\left(\lambda x+x^{\prime}\right)=\lambda f_{1}(x)+f_{1}\left(x^{\prime}\right) \quad \forall_{1} x_{1} x^{\prime}, \lambda \in \mathbb{R} \)
Uberprífung:
Seien \( x_{1} x^{\prime}, \lambda \in \mathbb{R} \)
\( f_{1}\left(\lambda x+x^{\prime}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x+x^{\prime} \\ 0 \\ \lambda x+x^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x+x^{\prime} \\ \lambda \cdot 0 \\ \lambda x+x^{\prime}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda x \\ \lambda \cdot 0 \\ \lambda x\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x^{\prime} \\ 0 \\ x^{\prime}\end{array}\right)=\lambda \underbrace{\left(\begin{array}{l}x \\ 0 \\ x\end{array}\right)}_{f_{1}(x)}+\underbrace{\left(\begin{array}{c}x^{\prime} \\ 0 \\ x^{\prime}\end{array}\right)}_{f_{1}\left(x^{\prime}\right)}=\lambda f_{1}(x)+f_{1}\left(x^{\prime}\right) \)
\( \Rightarrow f_{1} \) ist eine lineare Abbildung.

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Vielen Dank!!! :)

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Bei ii) habe ich rausgefunden, dass es ebenfalls eine lineare Abbildung ist. Stimmt das? Nochmals vielen Dank für Deine Hilfe. Ich habe das endlich verstanden (Falls es falsch ist, hab ich mich blamiert :D )

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Freut mich dass es dir geholfen hat, allerdings ist f₂ keine lineare Abbildung.

Schau dir mal folgendes Beispiel an:

a=1, a‘=1

Überlege dir jetzt was

f(a+a‘) ist und ob es das gleiche wie

f(a) + f(a‘) ist.

(Ps. Wenn du eine Aussage widerlegen willst, reicht ein Gegenbeispiel, da es dann ja für die Allgemeinheit nicht mehr stimmt.)

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kann mir einer erklären wie ich bei Aufgabe b vorgehen muss. Hab so eine ähnliche fast identische Aufgabe, nur verstehe nicht ganz wie ich da vorgehen kann.

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Danke für den Hinweis! Weißt Du, wie ich ein Gegenbeispiel mache?

@ela_2455 Kann dir da leider nicht weiterhelfen, da ich diesbezüglich trotz Ansätze keinen Plan habe.

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Bei mir kommt immernoch raus, dass f2 linear ist. Ich bin zu blöd dafür; ich geb's auf. Danke für die Hilfe! Wenigstens habe ich den Vorgang verstanden.

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Das Gegenbeispiel habe ich ja quasi schon gegeben, indem man a=1 und a‘=1 setzt, jetzt muss man nur noch f(a+a‘) also f(1+1) = f(2) ... weiterführen und dann mit f(1) + f(1) vergleichen, ob das gleiche rauskommt, was ja nicht der Fall ist.

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Hab mit der Skalarmultiplikation ein Gegenbeispiel durchgeführt und konnte endlich aufzeigen, dass f2 nicht linear ist. Ich danke dir nochmal vielmals für die Hilfe! :)