Logik Prädikatenlogik Aussagen formulieren

Question

Hallo, könnte mir jemand z.B. an der ersten Aussage die Aufgabe erklären ?

Aufgabe:

Sei L1 = {R} eine Sprache mit einem 2-stelligen Relationszeichen R und
sei M die Menge aller Menschen. Weiterhin sei M = (M, R^M) die L-Struktur mit Universum M,
in der R durch die (symmetrische) befreundet-sein-Relation interpretiert wird, d.h. für a, b ∈ M
gilt (a, b) ∈ R^M genau dann, wenn a und b befreundet sind. Ferner sagen wir, dass a ein Freund
von b ist, wenn a und b befreundet sind. Formalisieren Sie als L-Aussagen:

1. Jeder Mensch hat mindestens zwei Freunde.
2. Keine zwei Menschen haben genau die gleichen Freunde.
3. Je drei Freunde haben einen gemeinsamen vierten Freund.
4. Jeder Mensch ist mit jedem Menschen über maximal eine Ecke befreundet.

Answer 1

1. \(\forall x \exists y \exists z\ (\neg y=z \wedge xRy \wedge xRz)\)

Comments

wäre b sowas wie dass hier ? \( \exists v_{0} \exists v_{1} \exists v_{2} \exists v_{3}\left(\neg v_{0}=v_{1} \wedge v_{2} \wedge v_{3} \wedge \neg v_{1}=v_{2} \wedge v_{3} \wedge \neg v_{2}=v_{3} \wedge v_{0} R v_{1} \wedge v_{0} R v_{2} \wedge v_{1} R v_{2}\right. \)
\( \left.\Rightarrow v_{3} R v_{0} \wedge v_{3} R v_{1} \wedge v_{3} R v_{2}\right) \)

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Das \(\wedge\) ist kein Aufzählungszeichen. Es ist lediglich dazu gedacht, Aussagen miteinander zu verbinden.

Auf deutsch kann man sagen "Ich habe drei Äpfel und 5 Birnen gekauft". Auf mathematisch würde man sagen "Ich habe drei Äpfel gekauft und ich habe 5 Birnen gekauft"

... \( \neg v_{0}=v_{1} \wedge v_{2} \wedge v_{3} \) ...

\(v_2\) ist keine Aussage.

Der Grund, warum \(A\wedge B\wedge C\) in der Aussagenlogik formuliert weden kann ist, dass die Variablen \(A\), \(B\) und \(C\) für Aussagen stehen (oder für deren Wahrheitswerte).

In der Prädikatenlogik stehen die Variablen aber nicht für Aussagen, sondern hier für Menschen.