Zu folgenden Werten für ε jeweils einen konkreten Wert für δ herausfinden

Question

Aufgabe:

Sei \( f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x)=\frac{1}{x} \) und sei \( x_{0}=2 \).
Finden Sie zu folgenden Werten für \( \varepsilon \) jeweils einen konkreten Wert für \( \delta \), sodass aus \( \left|x-x_{0}\right|< \) \( \delta \) folgt: \( \left|f(x)-f\left(x_{0}\right)\right|<\varepsilon \).
i) \( \varepsilon=1 \)
ii) \( \varepsilon=0,2 \)
iii) \( \varepsilon=0,005 \).

Answer 1

Löse die Gleichungen \( f(x) = f(x_0) + \epsilon \) und \( f(x) = f(x_0) - \epsilon \) nach \( x \) auf.

Dann bestimme für jede Lösung \( \delta_{1,2} = | x_{1,2} - x_0 | \). Das Minimum ergibt das gesuchte \( \delta \)