Beweisen Sie, dass dim_R(H(a,0)) = n - 1

Question

Aufgabe:

Sei \( a \in \mathbb{R}^{n} \backslash\{0\} \). Beweisen Sie, dass

                                        dim_R(H(a,0)) = n - 1

gilt.

Ansatzt habe ich leider nicht..

Answer 1

Wir betrachten die einzeilige Matrix \(A:=(a_1,\cdots,a_n)\). Dann ist

\(H(a,0)\) gerade die Lösungsmenge von \(A\cdot x=0\).

Da \(a\neq 0\) ist, hat \(A\) den Rang 1, der Raum der Lösungen also

die Dimension \(n-rg(A)=n-1\).