Question

Sind A, B ∈ K^n×n Matrizen mit ABAB = 0, so gilt BABA = 0.

Ich würde damit argumentieren, dass Matrizen nicht kommutativ sind, aber irgendwie komme ich damit nicht weit...

Comments

https://math.stackexchange.com/questions/628154/abab-0-n-times-n-then-must-baba-be-0-n-times-n

Answer 1

Aloha :)

Das kann man nicht beweisen, weil es falsch ist. Betrachte dazu:$$A\coloneqq\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad B\coloneqq\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$$$AB=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\quad;\quad AB\,AB=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$$$BA=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\quad;\quad BA\,BA=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{pmatrix}$$