25^{1/2} warum ergibt das eine Quadtratwurzel?

Question

wie im Titel schon beschrieben, wieso ergibt 25^{1/2} eigentlich eine Quadratwurzel? Beispiel meines Problemes im Kopf, 25^2 = 625; 25^1 = 25; 25^0.5 = 5 bzw. 25^{1/2} = 5. Mit 25^{1/3} könnte ich die 3 te Wurzel ziehen (soweit ich weiß) doch verstehe ich einfach den Zusammenhang zwischen Bruch und Wurzel nicht... wie findet der Rechner anhand des Nenners z.B. 4  die 4te Wurzel? Was geht im internen vor wenn ich 25^{2/5} eingebe?

Ich zerbreche mir den Kopf schon seit Stunden und komme immer mehr durcheinander, kann mir da einer einen Schups geben?

Answer 1

Akelei hat es schon richtig gesagt ist aber auf die Brüche in den Exponenten nicht wirklich eingegangen.

Wir wissen

√x * √x = x

Das ist doch klar oder?

nun ist aber nach den Potenzgesetzten

x^a * x^b = x^{a+b}

x^0,5 * x^0,5 = x^{0,5 + 0,5} = x^1 = x

Oh Wunder hat sich da jemand gedacht und schwupps mal eben definiert das ab heute 

√x das gleiche ist wie x^0,5

Die 3. Wurzel aus x ist die Zahl die dreimal mit sich selbst malgenommen x ergibt. Und nun schau mal

x^{1/3} * x^{1/3} * x^{1/3} = x^{1/3 + 1/3 + 1/3} = x^{3/3} = x^1 = x

und weil x^{1/3} * x^{1/3} = x^{2/3} kann man jetzt auch schreiben

x^{2/3} = 3.Wurzel(x^2)

 

:-)

25^{2/5} Könnte man also auch rechnen als 

5.Wurzel(25^2) = 5.Wurzel(625)

Der Taschenrechner kann aber auch Potenzen errechnen wo im Exponenten eine irrationale Zahl wie Wurzel(2) steht. Daher kann der Taschenrechner auch beliebige Dezimalzahlen im Exponenten haben.

Answer 2

Wurzel ziehe ist sozusagen die Gegenoperation zum Quadrieren, ganz allgemein.Deine Frage zielt eher zu Notation, und da müsste man in die Geschichte der Mathematik gehen ,warum die Umkehroperation von

x²       ⇒ √x     bezeichnet.

zu dem Beispiel:

25 in Primfaktoren zerlegt ist ja 25=5*5   jeder Faktor hat oben  eigentlich eine 1 stehen

also 5¹*5¹ =5⁽¹⁺¹⁾=5²        und die Wurzel √25  =√5² = |5| nach den Potenzsätzen

       625  =5*5*5  =5³       ³√625=5   und   √625= 5√5

Schau  doch das Video bei Matheretter zu diesen Thema an (Potenzen und Wurzeln)

 

Comments

okay, das leuchtet erstmal ein aber woher kommt 3.623 her wenn ich z.B. 25^{2/5} eingebe? 2/5 sind Dez. 0.4 und 0.4 * 25 = 10 :( oder muss man das nicht Wissen?

Answer 3

Wenn du eingibst 25^(2/5) rechnet der Rechner erst 2/5 = 0,4 und dann 25^{0,4 = 3,623898318}

Comments

Achso, also die Willkürliche Angabe 2/5 hat dann aber auch nichts mehr mit dem Potenzieren/Wurzelziehen zutun oder? Sondern nur 1/n lässt aus einer Wurzel einer Potenz enstehen?