Sei M eine endliche Menge. Wie viele Elemente besitzt die Menge P(M) / {M}?

Question

Hallo meine lieben Mitmathematiker!
Ich befinde mich in der Klausurvorbereitung und bin in einer Altklausur auf eine Aufgabe gestoßen, welche mich an Russels Antinomie erinnert. Die Frage ist, ob ich da richtig liege...

Aufgabe:

Sei M eine endliche Menge. Wie viele Elemente besitzt die Menge, die man erhält, wenn man die Differenz der Potenzmenge mit der Menge, welche die Grundmenge M selbst enthält, bildet?

P(M) / {M}

Problem/Ansatz:
Ich würde behaupten die Antwort ist, dass die erzeugte Menge gar keine Elemente enthält.
Wenn ja, warum? Wenn nein, warum erst recht?

Liebe Grüße & Vielen Dank für eure Überlegungen!

Comments

Wenn M≠∅

Ist ∅∈P(M)\{M}

Deine Behauptung kann also nicht stimmen.

Bsp M={1,2}

Dann ist P(M) = { ∅, {1}, {2}, M }

Also P(M)\{M} = { ∅, {1}, {2} }

Answer 1

\(M\) ist ein Element von \(P(M)\).
Die Differenzmenge \(P(M)\backslash \{M\}\) erhält man,
wenn man \(M\) aus der Potenzmenge entfernt.
Also ist \(|(P(M)\backslash \{M\}|=2^{|M|}-1\).

Comments

Also doch, verdammte Axt...

Bedeutet das also, dass M = {M}?

Denn wenn wir uns am Beispiel P(M), mit M = {1,2} (siehe MatHaeMatician) orientieren, dann komme ich letztlich auf diese Frage zurück:

P(M) = {{}, {1}, {2}, {1,2}} = {{}, {1}, {2}, {M}} ? Müsste es nicht als P(M) = {{}, {1}, {2}, M} notiert werden?

Mich irritiert hier die explizite Klammerung von {M}.

Mein erlesenster Dank für die Entwirrung.

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\(P(M)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},M\}\) ist richtig; denn

\(M\) ist eine Teilmenge von \(M\), liegt also als Element in

\(P(M)\), während \(\{M\}\) keine Teilmenge von \(M\) ist.

\(A\backslash B\) bedeutet die Differenzmenge zweier Mengen:

"Nimm alle Elemente von \(B\) aus \(A\) heraus"

Du sollst also alle Elemente, die in \(\{M\}\) liegen, aus

\(P(M)\) herausnehmen, d.h. du sollst das Element \(M\)

aus \(P(M)\) entfernen.