Untersuchen Sie die Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivitat und Surjektivitat:

(a)
f : ℝ² → ℝ xℝ₀⁺
(x, y) ↦ (x + y, x²)

(b)
g : ℕ₀² → ℕ
(x, y) ↦ (2^x * 3^y)

Problem/Ansatz:

Ich komme da gerade leider nicht weiter, könnte mir jemand helfen :)

Answer 1

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivitat und Surjektivitat:
(a)
f : ℝ² → ℝ xℝ₀⁺  
(x, y) ↦ (x + y, x²)

injektiv: Wähle (x,y) und (u,v) aus R^2  mit f(x,y)=f(u,v)

und versuche zu zeigen, dass daraus (x,y)=(u,v) folgt.

Etwa so: (x + y, x^2)    =  (u+v, v^2)

==>  x+y = u+v  und  x^2 = v^2

==>  x+y = u+v und |x|  = |v| .

Das klappt also nicht, und man sieht leicht

ein Gegenbeispiel: f(0,1) = f(2,-1)

Also nicht injektiv.

surjektiv: Sei (a,b) aus   ℝ x ℝ_o⁺ also also a∈ℝ und b∈ℝ mit b≥0.

Suche (x,y) mit  x+y = a   und  x^2 = b

Da b≥0 existiert x=√b also muss du noch x+y = a

erfüllen     mit x=√b     ist das   √b +  y = a oder y = a- √b

Auch das lässt sich für alle gegebenen (a,b) berechnen,

also ist f surjektiv.