4n≥n² vollständige Induktion

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ ℕ = {o,1,2,...} die Ungleichung 4^n≥n² gilt. Formulieren Sie explizit Induktionsvoraussetzung und -behauptung und kennzeichnen Sie die Verwendung der Induktionsvoraussetzung im Induktionsschritt!

Hinweis: Benutzen Sie im Induktionsschritt, dass 2n ≤ 2n² für alle n ∈ ℕ gilt.

Ansatz:

IA: n=1       1²≤4^1 → 1 ≤ 4

IV: 4^n≥n²

IB: für n+1 (n+1)² ≤ 4^(n+1) → n²+2n+1  ≤ 4^(n+1)

IS: 4^(n+1) = 4^n * 4 ≥ (IV) n²*4 = 2n² * 2 = 2n² + 2n² ≥ (Hinweis) 2n² + 2n = n² + n² + 2n

An dieser Stelle habe ich mich festgefahren. Ich weiß leider nicht, wie ich von dieser Stelle auf die Induktionsbehauptung kommen soll.

Danke schonmal im Voraus

Comments

\(n^2+n^2+2n\geq 1+n^2+2n\) ...

Answer 1

Ich benutze einen Hilfssatz, den ich getrennt zuvor beweise:

3n²≥2n+1 für n∈ℕ.

IV: 4ⁿ≥n²

4·4ⁿ≥4·n²

4ⁿ⁺¹≥n²+3n².

Jetzt ersetze ich 3n² gemäß Hilfssatz (also etwas Kleineres):

4ⁿ⁺¹≥n²+2n+1

4ⁿ⁺¹≥(n+1)² was ja die IB ist.

Answer 2

I.S.

4^(n + 1) = 4·4^n = 3·4^n + 4^n ≥ 3·n^2 + 1 = n^2 + 2·n^2 + 1 ≥ = n^2 + 2·n + 1 = (n + 1)^2