Bestimmen Sie die Matrix X.

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrixgleichung A⋅X+B=X+C mit den Matrizen

\( \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right), \mathbf{B}=\left(\begin{array}{rr}-1 & -3 \\ 0 & 1\end{array}\right), \mathbf{C}=\left(\begin{array}{rr}9 & 1 \\ 36 & -8\end{array}\right) \)

Bestimmen Sie die Matrix X. Welchen Wert hat detX?

Problem/Ansatz:

Umformung: X = (A -I)^-1 * (C - B)

c - B = ( 8 -2

         36 -9)

A - I = ( 2  2

        0 3)

det A = 2*3 - 2*0 = 6

1/6 * 3* 8 +1/6 *-2*36 = -8

1/6 * 0 * 8 + 1/6 * 2 * 36

1/6 *3 * -2 + 1/6 *-2*-9= 2

1/6 *0 * -2 + 1/6 *2*-9 = -3

det X = (-8*-3) - (12*2) = 0

hoffe es passt bisher und ab da weiß ich nicht wie es richtig weiter geht. kann mir eventuell bitte jemand helfen?

Answer 1

Aloha :)

$$\left.AX+B=X+C\quad\right|-X$$$$\left.AX-X+B=C\quad\right|-B$$$$\left.AX-X=C-B\quad\right|\text{Distributivgesetz links}$$$$\left.(A-\mathbf 1)\,X=C-B\quad\right|\text{Inverse von links multiplizieren}$$$$\left.X=(A-\mathbf 1)^{-1}(C-B)\quad\right|\text{Matratzen einsetzen}$$$$X=\begin{pmatrix}3-1 & 2\\0 & 4-1\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}9-(-1) & 1-(-3)\\36-0 & -8-1\end{pmatrix}$$$$X=\begin{pmatrix}2 & 2\\0 & 3\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}10 & 4\\36 & -9\end{pmatrix}$$

Weil sie so oft benötigt wird, kennst du die Formel für die Inverse einer \(2\times2\)-Matrix auswendig:$$A^{-1}=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$$[Auf der Hauptdiagonale wechseln die Elemente, auf der Nebendiagonalen die Vorzeichen.]

Daher geht es weiter mit:$$X=\frac16\begin{pmatrix}3 & -2\\0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10 & 4\\36 & -9\end{pmatrix}$$$$X=\begin{pmatrix}-7 & 5\\12 & -3\end{pmatrix}$$$$\left|X\right|=(-7)\cdot(-3)-12\cdot5=21-60=-39$$

Comments

Vielen lieben Dank!

Answer 2

Wohl so:

c - B = ( 10   4
            36 -9)

So bekomme ich X=

  -7     5
  12    -3

also det(X)=-39