Welche Punktmenge im dreidimensionalen Raum wird durch die Gleichung 2x1 + 3x2 - 10 = 0 beschrieben?

Question

Aufgabe:

Welche Punktmenge im dreidimensionalen Raum wird durch die Gleichung 2x1 + 3x2 - 10 = 0 beschrieben?

Problem/Ansatz:

Ich versteh den Satz nicht, ich habe keine Ahnung was ich jetzt machen muss bzw wie ich starten muss

Answer 1

Hallo

es ist eine Ebene im R^3

ich glaube, das reicht und du musst sie nicht näher beschreiben,

Gruß lul

Comments

Okay danke und was wäre die Begründung?

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Hallo

a) ich erkenne die Koordinatenform einer Ebene

n*x=d  mit n orthogonalen Vektor der Ebene, wenn ich durch \( \sqrt{2^2+3^2} \) dividiere ist n der Einheitsnormalen Vektor, 10/ \( \sqrt{2^2+3^2} \) der Abstand der Ebene vom 0 Punkt.

b) gibt man für die Koordinaten (x1,x2,x3) ein Bedingung an, so hat man einen 2d affinen Unterraum des R^3

c) mach eine Parameterdarstllung daraus, dann sieht man dass man 2 linear unabhängige Vektoren im R^3 hat , die eine Ebene aufspannen

lul

Answer 2

Aloha :)

Ein Punkt im 3-dimensionalen Raum hat 3 Koordinaten \((x_1;x_2;x_3)\). Durch die Gleichung sind nun die Koordinaten \(x_1\) und \(x_2\) aneinander gekoppelt:$$2x_1+3x_2-10=0\quad\Longleftrightarrow\quad x_1=5-\frac32x_2$$Damit können wir die Koordinaten aller Punkte der Punktmenge wie folgt schreiben:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5-\frac32\,x_2\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}-\frac32\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$Das ist die Parametergleichung einer Ebene im 3-dimensionalen Raum.

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Vielen Dank!