Hallo,
Problem/Ansatz: Ich weiß das die inneren Fläche quadratisch sein muss, und somit ein Verhältnis von 1:1 benötigt wird.
Im Prinzip ja - aber was genau muss im Verhältnis 1:1 stehen? Es ist nicht(!) das Verhältnis der beiden Seiten des Rechtecks.
Schau Dir folgendes Bild an.
https://www.desmos.com/calculator/xku6xnwsg2
Der Kreis hat den Radius von 1. Das grüne Rechteck, was ich dort eingezeichnet habe, hat den Flächeninhalt von 1. Es passt aber so nicht in den Kreis. Jetzt kannst Du aber die oberen rechte Ecke des Rechtecks verschieben, so dass sich das Verhältnis seiner Seiten ändert, aber nicht seine Fläche. Die Ecke bewegt sich auf der blau gestrichelten Kurve und das Rechteck behält dabei stets seinen Flächeninhalt von 1 bei.
Und nur an einer einzigen Position passt das Rechteck in den Halbkreis hinein. Und jedes andere Rechteck, welches wie gefordert mit der Ecke auf dem Habkreis liegt, wäre offensichtlich kleiner!
Lege das Koordinatensystem so wie im Bild, und bezeichne die horizontale Koordinate der Ecke mit \(x\) und die vertikale mit \(y\). Die Fläche \(F\) des Rechtecks ist dann Länge mal Höhe also$$F = 2x \cdot y$$ das soll maximiert werden (Hauptbedingung). Und da die Ecke auf dem Halbkreis liegen soll, gilt$$x^2 + y^2 = r^2$$ (Nebenbedingung) wenn \(r\) der Radius des Kreises ist.
Das könnte man nun sehr schön nach Lagrange zeigen ... $$L(x,y,\lambda) = 2xy + \lambda(x^2+y^2 - r^2) \\ \frac{\partial L}{\partial x} = 2y + 2\lambda x \to 0\\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2x + 2\lambda y\to 0 \\\implies 2y^2 - 2x^2 = 0 \implies x=y \quad \text{wg.}\space x,y \ge 0$$Ich habe die obere Gleichung mit \(y\) und die untere mit \(x\) multipliziert und beide von einander abgezogen.
D.h. es kommt raus, dass \(x=y\) sein muss, und das siehst Du ja auch an dem Bild oben. Und daraus folgt folgt ein optimales Seitenverhältnis von Lange zu Breite von \(2\div1\).
Aber ich fürchte, Ihr hatte den Lagrange Multiplikator noch nicht durch genommen, dann bleibt nur der Holzweg. Selektiere \(y\) aus der Nebenbedingung$$y = \sqrt{r^2 - x^2}$$und setze das in die Hauptbedingung ein und leite ab. Und setze die Ableitung zu 0$$F = 2x \sqrt{r^2 - x^2} \\ \begin{aligned}F' = 2\sqrt{r^2 - x^2} + 2x \frac{-x}{\sqrt{r^2 - x^2} } &= 0 &&|\, \cdot \sqrt{r^2 - x^2} \\ 2(r^2-x^2) -2x^2 &= 0 &&|\,-2r^2 \\ -4x^2 &=- 2r^2 &&|\,\div -4 \\ x^2 &= \frac12 r^2 &&|\,\sqrt{} \\ x &= \frac 12 \sqrt 2 \,r&& |\, x \gt 0\end{aligned}$$erst wenn man dieses Ergebnis in die Nebenbedingung einsetzt, sieht man, dass \(x\) und \(y\) gleich groß sind. Man sieht aber leider nicht, dass sie immer gleich groß sein müssen!
Gruß Werner
