Berechne den Radius r mit einer Formel den ihn beschreibt.

Question

Aufgabe:

Beweis bzw Formel die den Radius beschreibt

Problem/Ansatz:

Aus einer Quadratischen Bleiplatte mit der Seite a sollen nach nebenstehendem Schema 5 gleich große Kreise mit dem Radius r gestanzt werden. Berechne r.

Answer 1

Betrachte eine Diagonale des Quadrats. Dort lassen sich von einer Ecke zur anderen folgende Teilstrecken identifizieren:

Bis zum ersten Kreismittelpunkt:

r*√2

bis zur Berührung mit dem nächsten Kreis:

r

bis zur Berührung mit dem nächsten Kreis:
2*r

bis zum nächsten Kreismittelpunkt:

r

bis zur entgegengesetzten Ecke.

r*√2

Damit lässt sich die gesamte Quadratdiagonale (a*√2) als Term in Abhängigkeit von r ausdrücken.

Das lässt sich natürlich auch nach r umstellen.

Answer 2

2x²=(2r)² also x=r·√2

a=2r+2r·√2

nach r auflösen.

Answer 3

Aloha :)

Ich schreibe zuerst den Zusammenhang formal auf, der mir sofort ins Auge springt. Danach erkläutere ich die einzelnen Terme:$$\underbrace{\sqrt2\cdot a}_{\text{Term 1}}=\underbrace{\sqrt2\cdot r}_{\text{Term 2}}+\underbrace{4r}_{\text{Term 3}}+\underbrace{\sqrt2\cdot r}_{\text{Term 4}}$$

zu Term 1:

Die Diagonale des Quadrates ist \(d=\sqrt2\cdot a\). Das folgt mit Pythagoras:$$d^2=a^2+a^2=2a^2\implies d=\sqrt2\cdot a$$

zu Term 2:

Die Strecke von der linken unteren Ecke des Quadrates bis zum Mittelpunkt des Kreises links unten ist die Diagonale eines kleinen Quadrates mit der Kantenlänge \(r\). Wie oben ist die Diagonale das \(\sqrt2\)-fache der Kantenlänge.

zu Term 3:

Vom Mittelpunkt des Kreises links unten gehen wir die Diagonale entlang bis zum Mittelpunkt des Kreises rechts oben. Dabei durchschreiten wir die Länge \(4\cdot r\).

zu Term 4:

Das ist wieder das Stück vom Mittelpunkt des Kreises bis zum Eckpunkt des Quadrates, das wir schon von Term 2 her kennen.

Nun können wir den verstandenen Ausdruck nach \(r\) umstellen:

$$\left.\sqrt{2}\cdot a=\sqrt2\cdot r+4r+\sqrt2\cdot r\quad\right|\text{\(r\) ausklammern}$$$$\left.\sqrt{2}\cdot a=r\left(\sqrt2+4+\sqrt2\right)\quad\right|4=2\cdot2=2\cdot\sqrt2\cdot\sqrt2$$$$\left.\sqrt{2}\cdot a=r\left(\sqrt2+2\sqrt2\cdot\sqrt2+\sqrt2\right)\quad\right|\colon\sqrt2$$$$\left.a=r\left(1+2\sqrt2+1\right)\quad\right|\text{Klammer zusammenfassen}$$$$\left.a=r\left(2+2\sqrt2\right)\quad\right|\text{\(2\) ausklammern}$$$$\left.a=r\cdot2\left(1+\sqrt2\right)\quad\right|\colon2\left(1+\sqrt2\right)$$$$r=\frac{a}{2(1+\sqrt2)}$$