Chinesischer Restsatz mit 3 Modulen

Question

Aufgabe:

Chinesischer Restsatz mit 3 Modulen:

Folgendes Kongruenzsystem:

4x ≡ 2(mod(6))

3x ≡ 5(mod(7))

2x ≡ 4(mod(11))

Problem/Ansatz:

Ich habe die Kongruenzen auf folgende Gestalt gebracht:

x ≡ 2 mod 6

x ≡ 4 mod 7

x ≡ 4 mod 11

Ich wende dafür folgende Strategie an:

x = 2*7*11*x1 + 4*6*11*x2 + 4*6*7*x3

Daraus folgt:

(7*11)*x1 = 1 mod 6 -> x1 = 5
(6*11)*x2 = 1 mod 7 -> x2 = 12

(6*7)*x3 = 1 mod 11 -> x3 = 5

Einsetzen:

x = 2*7*11*5 + 4 *6*11*12 + 4*6*7*5 = 4778

Ich bilde das kgV der Moduli:

m = 6*7*11 = 462

4778 mod 462 = 158

x = 158+z*462 für zeZ

Mein Ergebnis stimmt leider nicht mit der Lösung überein, deswegen wollte ich fragen, ob meine Überlegungen soweit stimmen? Ich freue mich über Hilfestellungen

Answer 1

Ich habe die Kongruenzen auf folgende Gestalt gebracht:

x ≡ 2 mod 6

Die richtige Folgerung wäre x ≡ 2 mod 3

x ≡ 4 mod 11

ist auch nicht richtig. Richtig wäre
x ≡ 2 mod 11

Comments

Danke für den Hinweis.

Hab es korrigiert und folgendes rausbekommen:

x = 2*7*11*2 + 4*3*11*5 + 2*7*3*5 = 1178

1178 mod 231 = 23

Lösung: 23+z*231

Wäre das so richtig?

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Lösung: 23+z*231

Wäre das so richtig?

Damit würde die Zahl 23 zur Lösungsmenge gehören.

x=23 erfüllt aber nicht die Forderung

x ≡ 2 mod 11.

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Wo ist mein Fehler?

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Du hast 23 als mögliche Lösung angegeben.

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Weil ich 1178 modulo dem kgv von 3,7 und 11 also 231 gerechnet habe. Stimmt das so nicht?

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Ich hab die endgültige Lösung!!

200+z*231

Also nochmal von Anfang:

4x ≡ 2(mod(6))

3x ≡ 5(mod(7))

2x ≡ 4(mod(11))

Ich habe die Kongruenzen auf folgende Gestalt gebracht:

x ≡ 2 mod 3

x ≡ 4 mod 7

x ≡ 2 mod 11

Ich wende dafür folgende Strategie an:

x = 2*7*11*x1 + 4*3*11*x2 + 2*3*7*x3

Daraus folgt:

(7*11)*x1 = 1 mod 3 -> x1=2
(3*11)*x2 = 1 mod 7 -> x2=3
(7*3)*x3 = 1 mod 11 -> x3=10

Einsetzen:
x=2*7*11*2+4*3*11*3+2*7*3*10 = 1124

Ich bilde das kgV der Moduli:
3*7*11 = 231

1124 mod 231 = 200

x=200+z*231 für zeZ (z Element der ganzen Zahlen)