Aloha :)
1) Für die Funktion \(f\) gilt:$$f(x)=\frac{7}{x^2-4}=\frac{7}{(x+2)(x-2)}$$Für \(x\) dürfen wir \((-2)\) oder \(2\) nicht einsetzen, um nicht durch \(0\) zu dividieren.
Für \(x<-2\) oder \(x>2\) werden alle poitiven Werte \(\mathbb R^+\) angenommen. Für \(-2<x<2\) ist der maximale Funktionswert \(-\frac74\). Damit lauten Definitions- und Wertebereich:$$f\colon\;\mathbb R\setminus\{-2;2\}\to\mathbb R\setminus\left(-\frac74\,\big|\,0\right]$$
2) Für die Funktion \(g\) gilt:$$g(x)=\frac1x$$Um nicht durch \(0\) zu dividieren, muss \(x\ne0\) sein. Für den Wertebereich scheidet die \(0\) aus, weil der Zähler nie \(0\) wird:$$g\colon\,\mathbb R^{\ne0}\to\mathbb R^{\ne0}$$
3) Für die Funktion \(f\circ g\) gilt:
\(g\) liefert alle Werte \(\ne0\). Da wir in \(f\) aber nicht \(\pm2\) einsetzen dürfen, müssen wir aus der Defintionsmenge von \(f\circ g\) diejenigen \(x\) streichen, für die \(g\) die Werte \(\pm2\) annimmt.$$g\left(-\frac12\right)=\frac{1}{-\frac12}=-2\quad;\quad g\left(\frac12\right)=\frac{1}{\frac12}=2$$Die Wertemenge von \(f\circ g\) ist dieselbe wie von \(f\):$$f\circ g\colon\,\mathbb R\setminus\left\{-\frac12\,;\,\frac12\right\}\to\mathbb R\setminus\left(-\frac74\,\big|\,0\right]$$
4) Für die Funktion \(g\circ f\) gilt:
Die Funktion \(f\) liefert nie \(0\), daher ist:$$g\circ f\colon\;\mathbb R\setminus\{-2;2\}\to\mathbb R^{\ne0}$$
