Aloha :)
Wenn eine Funktion die \(x\)-Achse in einem Punkt berührt, also nicht schneidet, muss die Vielfachheit der Nullstelle gerade sein. Bei \(x=6\) liegt also eine doppelte Nullstelle vor. Weiter wissen wir, dass bei \(x=0\) eine Nullstelle vorliegt, da die Kurve durch den Nullpunkt verläuft. Damit ist die Funktionsgleichung bis auf einen Faktor \(a\) bereits eindeutig bestimmt:$$f(x)=a\cdot x\cdot(x-6)\cdot(x-6)=ax\cdot(x-6)^2$$
Das unbekannte "a" ermitteln wir aus der Forderung, dass die Steigung am Nullpunkt gleich \(26\) sein soll. Die Ableitung bestimmen wir mit der Produktregel:$$26\stackrel!=f'(0)=\left(\underbrace{ax}_{=u}\cdot\underbrace{(x-6)^2}_{=v}\right)'_{x=0}=\left(\underbrace{a}_{=u'}\cdot\underbrace{(x-6)^2}_{=v}+\underbrace{ax}_{=u}\cdot\underbrace{2(x-6)}_{=v'}\right)_{x=0}=36a$$Damit ist \(a=\frac{26}{36}=\frac{13}{18}\) und wir haben die Gesuchte ermittelt:$$f(x)=\frac{13}{18}x(x-6)^2$$
~plot~ 26x ; 13/18*x*(x-6)^2 ; [[-1|7|-10|25]] ~plot~
Das stimmt mit deiner Lösung überein\(\quad\checkmark\)
