Zeigen Sie die Polarisationsformel x.y = 1/2 (||x+y||² - ||x|| ² -||y||² ) , …

Question

Aufgabe:

Sei n Element und sei ||.|| die euklidsche Norm auf R^n . Zeigen Sie die Polarisationsformel x.y = 1/2 (||x+y||² - ||x|| ² -||y||² )  Ich verstehe nicht was ich zeigen soll, die Formel ist ja da ?

Comments

Du sollst nachrechnen, ob die angegebene Formel richtig ist, für beliebige x,y

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Danke verstanden.

Ich komme beim Nachrechnen irendwie nicht voran kann mir jemand mal einen kleinen Hinweis geben wie ich das berechne?

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Drücke alle Terme auf der rechten Seite mit Hilfe des Skalarprodukts aus.

Answer 1

1/2 (||x+y||² - ||x|| ² -||y||² )

= 1/2 * (  <x+y,x+y> - <x,x> - <y,y> )

Bilinearität des Skalarproduktes ergibt

=  1/2 * (  <x,x> +<x,y> +<y,x> +<y,y> - <x,x> - <y,y> )

=  1/2 * (  <x,y> +<y,x>  )

Symmetrie des Skalarproduktes

=  1/2 * (  2<x,y>  )

= <x,y> oder, wenn ihr es mit Punkt schreibt x.y

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Super sehr gut erklärt, jetzt habe ich es geschnallt