Darf ich aus der Gleichung AB = BA folgern, dass A=B ist?

Question

Ich habe eine allgemeine Frage bezüglich der Multiplikation zweier nxn-Matrizen aus dem R^n:

Darf ich aus der Gleichung AB = BA folgern, dass A=B ist?

Answer 1

Nein.

Du weißt vermutlich das soweit eine Inverse existiert

A * A^{-1} = A^{-1} * A = E

gilt.

Und da brauchen A und A^{-1} auch nicht gleich sein.

Comments

Ich hätte die Frage präziser formulieren sollen. Und wenn wir annehmen, dass B nicht die Inverse von A ist und A nicht die Inverse von B?

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Dann nimm einfach:

a und b sind sicher nicht invers zueinander.

Um etwas zu widerlegen, braucht es nur ein simples Gegenbeispiel. Das kann das primitivste Überhaupt sein.

Answer 2

Betrachte die beiden 2x2-Diagonalmatrizen

A=diag(1,1), B=diag(2,2). Dann ist sicher AB=BA, aber A ungleich B.