reelle Folge auf Konvergenz untersuchen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden reellen Folgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:

 \( b_{n}:=n\left(\sqrt{n^{2}+2}-\sqrt{n^{2}+1}\right) \).

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du den Term mit Hilfe der binomischen Formeln etwas umschreiben:$$b_n=n\cdot\left(\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+1}\right)=n\cdot\frac{(\overbrace{\sqrt{n^2+2}}^{=a}-\overbrace{\sqrt{n^2+1}}^{=b})\cdot(\overbrace{\sqrt{n^2+2}}^{=a}+\overbrace{\sqrt{n^2+1}}^{=b})}{\left(\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}\right)}$$$$\phantom{b_n}=n\cdot\frac{\overbrace{(n^2+2)}^{=a^2}-\overbrace{(n^2+1)}^{=b^2}}{\left(\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}\right)}=n\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}\right)}$$

Nun klammerst du im Nenner \(\sqrt{n^2}\) bzw. \(n\) aus:$$b_n=\frac{n}{\sqrt{n^2\left(1+\frac{2}{n^2}\right)}+\sqrt{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}}=\frac{n}{\sqrt{n^2}\cdot\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{n^2}\cdot\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}$$$$\phantom{b_n}=\frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}\right)}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}\to\frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1+0}}=\frac12$$

Answer 2

Erweitere den Term mit \(  \left(\sqrt{n^{2}+2}+\sqrt{n^{2}+1}\right) \) und wende die 3. bin. Formel an.

Answer 3

Erweitere zur 3. binom. Formel und klammere in Nenner n aus! Kürze dann mit n.