Definition Sei \( A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{K}^{n \times n}, k, l \in\{1, \ldots, n\} \). Streicht man in \( A \) die \( k \)-te Zeile und die \( l \)-te Spalte, dann erhält man eine \( (n-1, n-1) \)-Matrix \( A_{k}^{l} \in \mathbb{K}^{(n-1) \times(n-1)} \).
i) \( A_{k}^{l} \) heißt Untermatrix \( \operatorname{von} A \),
ii) \( \operatorname{det} A_{k}^{l} \) heißt \( (n-1) \)-Minor von \( A \),
iii) \( \tilde{a}_{k l}:=(-1)^{k+l} \operatorname{det} A_{k}^{l} \) heiRt Kofaktor von \( a_{k l} \) und
iv) die Matrix \( \widetilde{A}:=\left(\tilde{a}_{l k}\right)_{1 \leq l \leq n, 1 \leq k \leq n} \in \mathbb{K}^{n \times n} \) heißt Adjunkte der Matrix \( A \).
Aufgabe:
Sei \( \mathbb{K} \) ein Körper, \( n \geq 2 \) und \( A, B \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{K}) \). Zeigen Sie die folgenden Aussagen für die Adjunkte einer Matrix , die wir im Folgenden mit adj(.) bezeichnen.
i) \( \operatorname{det}(\operatorname{adj}(A))=\operatorname{det}(A)^{n-1} \),
ii) \( \operatorname{adj}(A \cdot B)=\operatorname{adj}(B) \cdot \operatorname{adj}(A) \),
iii) \( \operatorname{adj}(\operatorname{adj}(A))=\operatorname{det}(A)^{n-2} A \).
